与えられた二次方程式と二次不等式を解き、空欄を埋める問題です。 (1) $3x^2 - 4x - 4 = 0$ の解を求める。 (2) $-x^2 + 7x - 9 = 0$ の解を求める。 (3) $4x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0$ の解を、選択肢から選ぶ。 (4) $x^2 + 3\sqrt{3}x - 12 > 0$ の解を、選択肢から選ぶ。 (5) $-\frac{1}{2}x^2 + 3x - 5 \le 0$ の解を、選択肢から選ぶ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた二次方程式と二次不等式を解き、空欄を埋める問題です。

(1) $3x^2 - 4x - 4 = 0$ の解を求める。

(2) $-x^2 + 7x - 9 = 0$ の解を求める。

(3) $4x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0$ の解を、選択肢から選ぶ。

(4) $x^2 + 3\sqrt{3}x - 12 > 0$ の解を、選択肢から選ぶ。

(5) $-\frac{1}{2}x^2 + 3x - 5 \le 0$ の解を、選択肢から選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) $3x^2 - 4x - 4 = 0$ を解く。

因数分解すると $(3x+2)(x-2) = 0$ となるので、

$x = -\frac{2}{3}, 2$

したがって、空欄は 1: -2, 2: 2, 3: 3, 4:であるから 2

(2) $-x^2 + 7x - 9 = 0$ を解く。

$x^2 - 7x + 9 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(1)(9)}}{2(1)}$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 36}}{2}$

$x = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}$

したがって、空欄は 5: 7, 6: 13, 7:, 8: 2

(3) $4x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0$ を解く。

$(2x - \sqrt{2})^2 = 0$

$2x = \sqrt{2}$

$x = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

選択肢①にないので、選択肢１は間違い

選択肢②は、x=√2, √2/4なので間違い

選択肢③は全ての実数なので間違い

選択肢④は解なしなので間違い

$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$であるため、空欄9は、①を選択する。

(4) $x^2 + 3\sqrt{3}x - 12 > 0$ を解く。

$x^2 + 3\sqrt{3}x - 12 = 0$ となる $x$ を求める。

解の公式より、

$x = \frac{-3\sqrt{3} \pm \sqrt{(3\sqrt{3})^2 - 4(1)(-12)}}{2}$

$x = \frac{-3\sqrt{3} \pm \sqrt{27 + 48}}{2}$

$x = \frac{-3\sqrt{3} \pm \sqrt{75}}{2}$

$x = \frac{-3\sqrt{3} \pm 5\sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{2\sqrt{3}}{2}, \frac{-8\sqrt{3}}{2}$

$x = \sqrt{3}, -4\sqrt{3}$

$x^2 + 3\sqrt{3}x - 12 > 0$ より、 $x < -4\sqrt{3}, \sqrt{3} < x$

したがって、空欄10は、① を選択する。

11: -4, 12:

(5) $-\frac{1}{2}x^2 + 3x - 5 \le 0$ を解く。

$x^2 - 6x + 10 \ge 0$

$(x-3)^2 + 1 \ge 0$

これはすべての実数で成り立つ。

したがって、空欄13は、① を選択する。

3. 最終的な答え

(1) x = -2/3, 2

1: -2, 2: 2, 3: 3, 4: 2

(2) x = (7 ± √13)/2

5: 7, 6: 13, 7:, 8: 2

(3) ①

9: ①

(4) ①

10: ①

11: -4, 12:

(5) ①

13: ①