3点$(-3, -1)$, $(-1, 7)$, $(1, -1)$を通る2次関数を求める問題と、その2次関数のグラフを平行移動して$y = -2x^2 + 4x + 3$のグラフに重ねるには、$x$軸方向と$y$軸方向にそれぞれどれだけ平行移動すれば良いかを求める問題です。

1. 問題の内容

3点$(-3, -1)$, $(-1, 7)$, $(1, -1)$を通る2次関数を求める問題と、その2次関数のグラフを平行移動して$y = -2x^2 + 4x + 3$のグラフに重ねるには、$x$軸方向と$y$軸方向にそれぞれどれだけ平行移動すれば良いかを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数を求める

求める2次関数を$y = ax^2 + bx + c$と置きます。

3点の座標を代入すると、以下の3つの式が得られます。

$(-3, -1)$: $9a - 3b + c = -1$ (1)

$(-1, 7)$: $a - b + c = 7$ (2)

$(1, -1)$: $a + b + c = -1$ (3)

(3) - (2)より、

$2b = -8$

$b = -4$

これを(1)に代入すると

$9a + 12 + c = -1$

$9a + c = -13$ (4)

これを(3)に代入すると

$a - 4 + c = -1$

$a + c = 3$ (5)

(4) - (5)より

$8a = -16$

$a = -2$

これを(5)に代入すると

$-2 + c = 3$

$c = 5$

よって、求める2次関数は$y = -2x^2 - 4x + 5$となります。

1 = -2

3 = 4

4 = 5

(2) 平行移動量を求める

$y = -2x^2 - 4x + 5$を平方完成します。

$y = -2(x^2 + 2x) + 5$

$y = -2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 5$

$y = -2((x+1)^2 - 1) + 5$

$y = -2(x+1)^2 + 2 + 5$

$y = -2(x+1)^2 + 7$

$y = -2x^2 + 4x + 3$を平方完成します。

$y = -2(x^2 - 2x) + 3$

$y = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3$

$y = -2((x-1)^2 - 1) + 3$

$y = -2(x-1)^2 + 2 + 3$

$y = -2(x-1)^2 + 5$

$y = -2(x+1)^2 + 7$のグラフを、$x$軸方向に$p$, $y$軸方向に$q$だけ平行移動すると

$y - q = -2(x - p + 1)^2 + 7$

$y = -2(x - p + 1)^2 + 7 + q$

これが、$y = -2(x-1)^2 + 5$と一致するので

$-p + 1 = -1$

$p = 2$

$7 + q = 5$

$q = -2$

よって、$x$軸方向に$2$, $y$軸方向に$-2$だけ平行移動すれば良い。

5 = 2

6 = -2

3. 最終的な答え

(1) $y = -2x^2 - 4x + 5$

(2) $x$軸方向に$2$ (選択肢5), $y$軸方向に$-2$ (選択肢2)