与えられた関数 $f(x) = x^2 - 2mx + 3m + 4$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 不等式 $f(x) \geq 0$ が全ての実数 $x$ で成り立つような、$m$ の値の範囲を求めます。 (2) 方程式 $f(x) = 0$ が2より大きい異なる2つの実数解を持つような、$m$ の値の範囲を求めます。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = x^2 - 2mx + 3m + 4$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 不等式 $f(x) \geq 0$ が全ての実数 $x$ で成り立つような、$m$ の値の範囲を求めます。

(2) 方程式 $f(x) = 0$ が2より大きい異なる2つの実数解を持つような、$m$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) \geq 0$ が全ての実数 $x$ で成り立つ条件は、2次関数 $f(x)$ のグラフが $x$ 軸と接するか、または $x$ 軸より上にあることです。つまり、判別式 $D$ が $D \leq 0$ となる必要があります。

$f(x) = x^2 - 2mx + 3m + 4$ の判別式 $D$ は、

$D = (-2m)^2 - 4(1)(3m + 4) = 4m^2 - 12m - 16$

$D \leq 0$ より、

$4m^2 - 12m - 16 \leq 0$

$m^2 - 3m - 4 \leq 0$

$(m - 4)(m + 1) \leq 0$

$-1 \leq m \leq 4$

したがって、1の解答は-1と4なので、 $-1\leq m \leq 4$は④です。

(2) 方程式 $f(x) = 0$ が2より大きい異なる2つの実数解を持つ条件は、

(i) 判別式 $D > 0$

(ii) 軸 $x = m > 2$

(iii) $f(2) > 0$

(i) $D > 0$ より、

$(m - 4)(m + 1) > 0$

$m < -1$ または $4 < m$

(ii) 軸 $x = m > 2$ より、$m > 2$

(iii) $f(2) > 0$ より、

$f(2) = 2^2 - 2m(2) + 3m + 4 = 4 - 4m + 3m + 4 = 8 - m > 0$

$m < 8$

(i), (ii), (iii) を満たす $m$ の範囲は、$4 < m < 8$

したがって、5の解答は4と8なので、 $4< m < 8$。選択肢にはないですが、近いのは④ 6 <m< 7です。これは問題の選択肢が間違っているか、画像が不鮮明で数字を読み間違えている可能性があります。

3. 最終的な答え

(1) ④ $-1 \leq m \leq 4$

(2) ④ $6 < m < 7$ (ただし、問題文の条件を満たす範囲は $4 < m < 8$。最も近い選択肢を選びました。)