2次関数 $y = 2x^2 - 12x + 22$ について、以下の問いに答える。 (1) x軸との共有点の個数を求める。 (2) $0 \le x < 4$ における $y$ の値域を求める。 (3) $a$ を正の定数とするとき、$a \le x < 4$ における関数の最大値と最小値を、$0 < a \le [7]$, $[7] < a \le [10]$, $[10] < a < 4$ のそれぞれの場合について求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 - 12x + 22$ について、以下の問いに答える。

(1) x軸との共有点の個数を求める。

(2) $0 \le x < 4$ における $y$ の値域を求める。

(3) $a$ を正の定数とするとき、$a \le x < 4$ における関数の最大値と最小値を、$0 < a \le [7]$, $[7] < a \le [10]$, $[10] < a < 4$ のそれぞれの場合について求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = 2x^2 - 12x + 22 = 2(x^2 - 6x) + 22 = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 22 = 2(x - 3)^2 - 18 + 22 = 2(x - 3)^2 + 4$

頂点の座標は $(3, 4)$ で、$y$ の係数が正であるから、グラフは下に凸の放物線である。

最小値は4であり、x軸より上に頂点があるため、x軸と交わらない。

したがって、x軸との共有点の個数は0個である。

(2) $y = 2(x - 3)^2 + 4$ のグラフを考える。

$0 \le x < 4$ の範囲で、$x = 3$ のとき $y = 4$ (頂点)。

$x = 0$ のとき $y = 2(0 - 3)^2 + 4 = 2(9) + 4 = 18 + 4 = 22$

$x = 4$ のとき $y = 2(4 - 3)^2 + 4 = 2(1) + 4 = 6$

$0 \le x < 4$ なので、$x = 4$ のときは含まない。

よって、$4 \le y \le 22$ となる。

値域は $4 \le y < 22$ である。

(3) $y = 2(x - 3)^2 + 4$ について、$a \le x < 4$ の範囲で考える。

$0 < a \le [7]$

$0 < a \le 3$ のとき、$x = a$ で最大、$x = 3$ で最小となる。

$3 < a \le 4$ のとき、$x = a$ で最大、$x = 3$ で最小となる。

いずれにしても、$x = a$ で最大値 $2(a - 3)^2 + 4 = 2(a^2 - 6a + 9) + 4 = 2a^2 - 12a + 18 + 4 = 2a^2 - 12a + 22$ をとり、$x = 3$ で最小値 $y = 4$ をとる。

$[7] < a \le [10]$

$a \le x < 4$ で、$x = 3$ は範囲に含まれるので、$x = 3$ で最小値 $y = 4$ をとる。

最大値は、$x = a$ と $x = 4$ のどちらかの $y$ の値が大きい方になる。

$x = a$ のとき $y = 2(a - 3)^2 + 4 = 2a^2 - 12a + 22$

$x = 4$ のとき $y = 6$

$2a^2 - 12a + 22 = 6$ を解くと、$2a^2 - 12a + 16 = 0$, $a^2 - 6a + 8 = 0$, $(a - 2)(a - 4) = 0$, $a = 2, 4$

$3 < a < 4$ ならば $2a^2 - 12a + 22 > 6$, $4 \le a$ ならば $2a^2 - 12a + 22 \ge 6$

$3 < a < 4$ の範囲で $a=4$ の付近だけを考えればよい。

$a > 3$のとき$f(a) = 2a^2 - 12a + 22$は$a=3$から遠ざかるほど大きくなる。

$3 < a < 4$ ならば $2a^2 - 12a + 22 < 6$となることはないので、$f(a)$が最大値。

$3 < a < 4$のとき、$x = a$ で最大値 $2a^2 - 12a + 22$

$[10] < a < 4$ はありえないので、考慮しない。

よって、$0 < a \le 3$ のとき、最大値: $2a^2 - 12a + 22$, 最小値: 4

$3 < a < 4$ のとき、最大値: $2a^2 - 12a + 22$, 最小値: 4

(1) x軸との共有点の個数: 0個

(2) $0 \le x < 4$ における $y$ の値域: $4 \le y < 22$。

(3)

$0 < a \le 3$ のとき、最大値: $2a^2 - 12a + 22$, 最小値: 4

$3 < a < 4$ のとき、最大値: $2a^2 - 12a + 22$, 最小値: 4

3. 最終的な答え

(1) 1: 0

(2) 2: 4, 3: ≦, 4: 22, 5: ＜, 6: 6

(3)

7: 3, 8: (4), 9: (1)

10: 3, 11: (4), 12: (1)

13: (5), 14: (1)