以下の5つの問題を解きます。 (1) $(-3x^2)^4 \div 6x^5 \times 2x^3$ を計算する。 (2) $(x+y-2)(x-y+2)$ を展開する。 (3) $x^2+2xy+y^2-1$ を因数分解する。 (4) $156$の平方根を求める。 (5) $103 \times 97$ を計算する。

1. 問題の内容

以下の5つの問題を解きます。

(1) $(-3x^2)^4 \div 6x^5 \times 2x^3$ を計算する。

(2) $(x+y-2)(x-y+2)$ を展開する。

(3) $x^2+2xy+y^2-1$ を因数分解する。

(4) $156$の平方根を求める。

(5) $103 \times 97$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) $(-3x^2)^4 \div 6x^5 \times 2x^3$ を計算します。

まず、 $(-3x^2)^4$ を計算します。

$(-3x^2)^4 = (-3)^4 (x^2)^4 = 81x^8$

次に、割り算と掛け算を左から順に行います。

$81x^8 \div 6x^5 = \frac{81}{6}x^{8-5} = \frac{27}{2}x^3$

最後に、

$\frac{27}{2}x^3 \times 2x^3 = 27x^{3+3} = 27x^6$

(2) $(x+y-2)(x-y+2)$ を展開します。

$x+(y-2)$ および $x-(y-2)$ と見て、和と差の積の公式を利用します。

$(x+(y-2))(x-(y-2)) = x^2 - (y-2)^2 = x^2 - (y^2 - 4y + 4) = x^2 - y^2 + 4y - 4$

(3) $x^2+2xy+y^2-1$ を因数分解します。

$x^2+2xy+y^2 = (x+y)^2$ であることを利用します。

$(x+y)^2 - 1 = (x+y)^2 - 1^2$

和と差の積の公式を使うと、

$(x+y)^2 - 1^2 = (x+y+1)(x+y-1)$

(4) $156$の平方根を求めます。

$156$ を素因数分解すると、$156 = 2^2 \times 3 \times 13$ なので、

$\sqrt{156} = \sqrt{2^2 \times 3 \times 13} = 2\sqrt{39}$

よって、$156$の平方根は $\pm 2\sqrt{39}$ です。

(5) $103 \times 97$ を計算します。

$(100+3)(100-3)$ と見て、和と差の積の公式を利用します。

$(100+3)(100-3) = 100^2 - 3^2 = 10000 - 9 = 9991$

3. 最終的な答え

(1) $27x^6$

(2) $x^2 - y^2 + 4y - 4$

(3) $(x+y+1)(x+y-1)$

(4) $\pm 2\sqrt{39}$

(5) $9991$