問題は、式 $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ を展開し、整理することです。

1. 問題の内容

問題は、式 $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ を展開し、整理することです。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b)(b+c)(c+a)$を展開します。

$(a+b)(b+c) = ab + ac + b^2 + bc$

次に、$(ab + ac + b^2 + bc)(c+a)$を展開します。

$(ab + ac + b^2 + bc)(c+a) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

これを整理すると、

$a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$

となります。

元の式 $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ に$abc$を加えます。

$a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc + abc = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc$

因数分解しやすい形に変形します。

$a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc = a^2(b+c) + a(b^2+c^2+3bc) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b^2+2bc+c^2 + bc) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a((b+c)^2 + bc) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b+c)^2 + abc + bc(b+c)$

$= (b+c)[a^2 + a(b+c) + bc]$

$= (b+c)[a^2 + ab + ac + bc]$

$= (b+c)[a(a+b) + c(a+b)]$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

元の式は $(a+b)(b+c)(c+a)+abc$ なので、

$(a+b)(b+c)(c+a)+abc = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc$

答えは、 $(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b)(b+c)(c+a) + abc$ です。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b)(bc + c^2 + b^2 + bc) = (a+b)(b^2 + c^2 + 2bc) = (a+b)((b+c)^2) = (a+b)(b+c)(b+c)$.

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = a^2b + abc + a^2c + ac^2 + b^2a + b^2c + abc + bc^2 + abc = (a+b)(b+c)(c+a) + abc$

$(a+b)(b+c)(a+c) + abc= (a+b)(bc+ba+c^2+ac) + abc = abc+b^2c+ba^2+b^2a+ac^2+abc+a^2c+ac^2+abc = a^2b + b^2a + a^2c + c^2a + b^2c + c^2b + 3abc$

$(a+b+c)(ab+bc+ca) = a^2b + abc + a^2c + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + c^2a = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc$

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$

3. 最終的な答え

$(a+b+c)(ab+bc+ca)$