問題は以下の2つです。 * 問題14: 2次関数 $y = x^2 - mx + m$ (mは実数の定数)の最小値を $k$ とする。このとき、$k$ の最大値を求めよ。 * 問題6: 関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ ($0 \le x \le a$) の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。(1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき、$M$ と $m$ の値を求めよ。(2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき、$M$ と $m$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。OCRの結果から問題文を解釈し、解答を作成します。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

* 問題14: 2次関数 $y = x^2 - mx + m$ (mは実数の定数)の最小値を $k$ とする。このとき、$k$ の最大値を求めよ。

* 問題6: 関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ ($0 \le x \le a$) の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。(1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき、$M$ と $m$ の値を求めよ。(2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき、$M$ と $m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

問題14:

1. $y = x^2 - mx + m$ を平方完成する。

$y = (x - \frac{m}{2})^2 - \frac{m^2}{4} + m$

2. 最小値 $k$ は $k = -\frac{m^2}{4} + m$ となる。

3. $k$ を $m$ の関数と見て、最大値を求めるために平方完成する。

$k = -\frac{1}{4}(m^2 - 4m) = -\frac{1}{4}(m^2 - 4m + 4 - 4) = -\frac{1}{4}(m - 2)^2 + 1$

4. $k$ は $m = 2$ のとき最大値 $1$ をとる。

問題6:

関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ について、定義域 $0 \le x \le a$ における最大値 $M$ と最小値 $m$ を考える。

$f(x)$ を平方完成すると $f(x) = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{13}{4}$ となる。軸は $x = \frac{5}{2}$ である。

(1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき

* 最小値 $m$: 軸が定義域に含まれないため、 $x=a$ のとき最小となる。

$m = f(a) = a^2 - 5a + 3$

* 最大値 $M$: $f(0)=3$であり、$x=0$のとき最大となる。$M = f(0) = 3$

(2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき

* 最小値 $m$: 軸 $x = \frac{5}{2}$ が定義域に含まれるので、$x = \frac{5}{2}$ のとき最小となる。

$m = f(\frac{5}{2}) = (\frac{5}{2})^2 - 5(\frac{5}{2}) + 3 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 3 = \frac{25 - 50 + 12}{4} = -\frac{13}{4}$

* 最大値 $M$: $a=5$のとき、$f(5)=5^2-5\cdot5+3 = 3$となり、$M=3$

3. 最終的な答え

問題14:

$m = 2$ のとき最大値 $1$

問題6:

(1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき、$M = 3$, $m = a^2 - 5a + 3$

(2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき、$M = 3$, $m = -\frac{13}{4}$