正方形があり、その縦の長さを1cm長くし、横の長さを2cm短くした長方形を作ったところ、その面積が元の正方形の面積の半分になった。元の正方形の1辺の長さを求める問題。

1. 問題の内容

正方形があり、その縦の長さを1cm長くし、横の長さを2cm短くした長方形を作ったところ、その面積が元の正方形の面積の半分になった。元の正方形の1辺の長さを求める問題。

2. 解き方の手順

元の正方形の1辺の長さを $x$ cmとする。

元の正方形の面積は $x^2$ cm$^2$である。

長方形の縦の長さは $(x+1)$ cm、横の長さは $(x-2)$ cmである。

長方形の面積は $(x+1)(x-2)$ cm$^2$である。

長方形の面積が元の正方形の面積の半分なので、以下の式が成り立つ。

$(x+1)(x-2) = \frac{1}{2}x^2$

これを解く。

$x^2 - 2x + x - 2 = \frac{1}{2}x^2$

$x^2 - x - 2 = \frac{1}{2}x^2$

両辺に2を掛ける。

$2x^2 - 2x - 4 = x^2$

$x^2 - 2x - 4 = 0$

解の公式を用いる。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2}$

$x = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2}$

$x = 1 \pm \sqrt{5}$

$x$は正であるから、$x = 1 + \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$1 + \sqrt{5}$ cm