関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ （$0 \le x \le a$）の最大値を $M$、最小値を $m$ とします。 (1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき、$M$ と $m$ を求めよ。 (2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき、$M$ と $m$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ （$0 \le x \le a$）の最大値を $M$、最小値を $m$ とします。

(1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき、$M$ と $m$ を求めよ。

(2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき、$M$ と $m$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 5x + 3 = (x - \frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 + 3 = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + \frac{12}{4} = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{13}{4}$

軸は $x = \frac{5}{2}$ で、下に凸の放物線です。

(1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ は軸 $x = \frac{5}{2}$ より左側にあります。

したがって、最大値 $M$ は $x = 0$ で取り、最小値 $m$ は $x = a$ で取ります。

$M = f(0) = 0^2 - 5(0) + 3 = 3$

$m = f(a) = a^2 - 5a + 3$

(2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき

定義域 $0 \le x \le a$ は軸 $x = \frac{5}{2}$ を含みます。

したがって、最小値 $m$ は $x = \frac{5}{2}$ で取り、最大値 $M$ は $x = 0$ または $x = a$ のどちらかで取ります。

$m = f(\frac{5}{2}) = (\frac{5}{2})^2 - 5(\frac{5}{2}) + 3 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 3 = \frac{25}{4} - \frac{50}{4} + \frac{12}{4} = -\frac{13}{4}$

$f(0) = 3$

$f(a) = a^2 - 5a + 3$

ここで、$a^2 - 5a + 3$ と $3$ の大小関係を比較します。

$a^2 - 5a + 3 - 3 = a^2 - 5a = a(a - 5)$

$\frac{5}{2} \le a \le 5$ なので、 $a \ge 0$ かつ $a - 5 \le 0$ となります。

したがって、$a(a - 5) \le 0$ となり、$a^2 - 5a + 3 \le 3$

つまり、$f(a) \le f(0)$ なので、最大値は $M = f(0) = 3$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $M = 3$, $m = a^2 - 5a + 3$

(2) $M = 3$, $m = -\frac{13}{4}$