問題14: $x$ の2次関数 $y = x^2 - mx + m$ （$m$ は実数の定数）の最小値を $k$ とします。このとき、$k$ の最大値を求めよ。 問題15: 実数 $x$, $y$ が $x^2 + y^2 = 4$ を満たしているとき、$4x + 2y^2$ の最大値、最小値を求めよ。また、そのときの $x$, $y$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題14: $x$ の2次関数 $y = x^2 - mx + m$ （$m$ は実数の定数）の最小値を $k$ とします。このとき、$k$ の最大値を求めよ。

問題15: 実数 $x$, $y$ が $x^2 + y^2 = 4$ を満たしているとき、$4x + 2y^2$ の最大値、最小値を求めよ。また、そのときの $x$, $y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

問題14:

まず、2次関数 $y = x^2 - mx + m$ を平方完成します。

$y = (x - \frac{m}{2})^2 - \frac{m^2}{4} + m$

この関数の最小値 $k$ は、

$k = -\frac{m^2}{4} + m$

となります。

次に、$k$ を $m$ の関数として見て、その最大値を求めます。

$k = -\frac{1}{4}m^2 + m = -\frac{1}{4}(m^2 - 4m) = -\frac{1}{4}(m^2 - 4m + 4 - 4) = -\frac{1}{4}(m-2)^2 + 1$

したがって、$k$ は $m = 2$ のとき最大値 $1$ をとります。

問題15:

条件 $x^2 + y^2 = 4$ より、$y^2 = 4 - x^2$ となります。これを $4x + 2y^2$ に代入します。

$4x + 2y^2 = 4x + 2(4 - x^2) = 4x + 8 - 2x^2 = -2x^2 + 4x + 8$

$f(x) = -2x^2 + 4x + 8$ とおきます。$x^2 + y^2 = 4$ より、$-2 \leq x \leq 2$ です。

$f(x) = -2(x^2 - 2x) + 8 = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 8 = -2(x-1)^2 + 2 + 8 = -2(x-1)^2 + 10$

$f(x)$ は $x = 1$ で最大値 $10$ をとります。

このとき、$y^2 = 4 - x^2 = 4 - 1 = 3$ より、$y = \pm \sqrt{3}$。

$f(x)$ の最小値を求めます。$x$ の範囲 $-2 \leq x \leq 2$ において、$x = -2$ のとき $f(x)$ は最小となります。

$f(-2) = -2(-2)^2 + 4(-2) + 8 = -8 - 8 + 8 = -8$

このとき、$y^2 = 4 - x^2 = 4 - (-2)^2 = 0$ より、$y = 0$。

3. 最終的な答え

問題14:

$m=2$ のとき最大値 $1$

問題15:

$x = 1$, $y = \pm \sqrt{3}$ のとき最大値 $10$; $x = -2$, $y = 0$ のとき最小値 $-8$