与えられた式 $(x^2 + 2x + 3)(x^2 - 2x + 3)$ を展開して整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^2 + 2x + 3)(x^2 - 2x + 3)$ を展開して整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、式を $(A + B)(A - B)$ の形に変形することを考えます。ここで、

$A = x^2 + 3$

$B = 2x$

とすると、与えられた式は

$(x^2 + 3 + 2x)(x^2 + 3 - 2x)$

となり、これは $(A + B)(A - B)$ の形になっています。

$(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$ の公式を使うと、

$(x^2 + 3)^2 - (2x)^2$

となります。

$(x^2 + 3)^2$ を展開すると、

$(x^2)^2 + 2(x^2)(3) + 3^2 = x^4 + 6x^2 + 9$

また、 $(2x)^2 = 4x^2$ です。

したがって、

$(x^2 + 3)^2 - (2x)^2 = x^4 + 6x^2 + 9 - 4x^2 = x^4 + 2x^2 + 9$

となります。

3. 最終的な答え

$x^4 + 2x^2 + 9$