関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ (ただし $0 \le x \le a$) の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。 (1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき、$M$ と $m$ を求めよ。 (2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき、$M$ と $m$ を求めよ。 (3) $a > 5$ のとき、$M$ と $m$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ (ただし $0 \le x \le a$) の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。

(1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき、$M$ と $m$ を求めよ。

(2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき、$M$ と $m$ を求めよ。

(3) $a > 5$ のとき、$M$ と $m$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ を平方完成します。

$f(x) = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + 3 = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{13}{4}$

このグラフは下に凸の放物線で、軸は $x = \frac{5}{2}$ です。

(1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき

この区間では、関数は単調減少します。したがって、

最大値 $M = f(0) = 0^2 - 5(0) + 3 = 3$

最小値 $m = f(a) = a^2 - 5a + 3$

(2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき

軸 $x = \frac{5}{2}$ が区間 $[0, a]$ に含まれるので、最小値は頂点の $y$ 座標になります。

最小値 $m = f(\frac{5}{2}) = - \frac{13}{4}$

最大値は $x = 0$ または $x = a$ でとります。

$f(0) = 3$

$f(a) = a^2 - 5a + 3$

$a \le 5$ より、$a^2-5a+3 \le 3$ であり、$f(0) = 3$ の方が大きくなります。

最大値 $M = f(0) = 3$

(3) $a > 5$ のとき

この区間では、最大値は $x = a$ でとります。

最大値 $M = f(a) = a^2 - 5a + 3$

最小値は軸 $x = \frac{5}{2}$ が区間 $[0, a]$ に含まれているので、頂点の $y$ 座標になります。

最小値 $m = f(\frac{5}{2}) = -\frac{13}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $M = 3, m = a^2 - 5a + 3$

(2) $M = 3, m = -\frac{13}{4}$

(3) $M = a^2 - 5a + 3, m = -\frac{13}{4}$