A地点から打ち上げられたボールが、Q地点で最高の高さになり、C地点にある高さ6mのフェンスに向かって飛ぶ。ボールの軌道は放物線で表され、図4に示されている。$AC = 110m$, $AQ = 60m$であるとき、ボールがフェンスを越えるか越えないかを判定する。

1. 問題の内容

A地点から打ち上げられたボールが、Q地点で最高の高さになり、C地点にある高さ6mのフェンスに向かって飛ぶ。ボールの軌道は放物線で表され、図4に示されている。$AC = 110m$, $AQ = 60m$であるとき、ボールがフェンスを越えるか越えないかを判定する。

2. 解き方の手順

放物線の頂点が $(60, 30)$ であり、点 $(0, 0)$ を通ることから、放物線の式を

$y = a(x-60)^2 + 30$

と表すことができる。

点 $(0, 0)$ を代入すると、

$0 = a(0-60)^2 + 30$

$0 = 3600a + 30$

$3600a = -30$

$a = -\frac{30}{3600} = -\frac{1}{120}$

したがって、放物線の式は

$y = -\frac{1}{120}(x-60)^2 + 30$

$x=110$ のとき、C地点でのボールの高さは

$y = -\frac{1}{120}(110-60)^2 + 30 = -\frac{1}{120}(50)^2 + 30 = -\frac{2500}{120} + 30 = -\frac{125}{6} + \frac{180}{6} = \frac{55}{6} \approx 9.17$

C地点にあるフェンスの高さは6mなので、ボールはフェンスを越える。

3. 最終的な答え

結果：1, 理由：C地点におけるボールの高さは約9.17mであり、フェンスの高さ6mよりも高いため。