関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ ($0 \le x \le a$) の最大値を $M$, 最小値を $m$ とする。次の条件を満たすときの $M$ と $m$ を求めよ。 (1) $0 < a < \frac{5}{2}$ (2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ (3) $a > 5$

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ ($0 \le x \le a$) の最大値を $M$, 最小値を $m$ とする。次の条件を満たすときの $M$ と $m$ を求めよ。

(1) $0 < a < \frac{5}{2}$

(2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$

(3) $a > 5$

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^2 - 5x + 3$ のグラフの概形を把握する。平方完成すると

$f(x) = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + 3 = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{13}{4}$

となる。よって、このグラフは軸が $x = \frac{5}{2}$ の下に凸な放物線である。

(1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき、区間 $[0, a]$ で $f(x)$ は減少関数である。

したがって、最大値 $M$ は $x=0$ のとき、最小値 $m$ は $x=a$ のときにとる。

$M = f(0) = 0^2 - 5(0) + 3 = 3$

$m = f(a) = a^2 - 5a + 3$

(2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき、区間 $[0, a]$ に軸 $x = \frac{5}{2}$ が含まれる。

したがって、最小値 $m$ は $x = \frac{5}{2}$ のときにとる。

$m = f(\frac{5}{2}) = -\frac{13}{4}$

最大値 $M$ は $f(0)$ と $f(a)$ のうち大きい方である。

$f(0) = 3$

$f(a) = a^2 - 5a + 3$

$a = 5$ のとき、$f(5) = 5^2 - 5(5) + 3 = 3$

$f(0) = f(5) = 3$ なので、$a^2 - 5a + 3 = 3$ を解くと $a(a-5) = 0$ より $a = 0, 5$。

$\frac{5}{2} \le a \le 5$ なので $a > \frac{5}{2}$ のとき、$x=0$ で最大値となる。

$M = f(0) = 3$

(3) $a > 5$ のとき、区間 $[0, a]$ に軸 $x = \frac{5}{2}$ が含まれる。

したがって、最小値 $m$ は $x = \frac{5}{2}$ のときにとる。

$m = f(\frac{5}{2}) = -\frac{13}{4}$

最大値 $M$ は $f(0)$ と $f(a)$ のうち大きい方である。

$f(0) = 3$

$f(a) = a^2 - 5a + 3$

$a > 5$ なので $f(a) > f(0)$。したがって最大値は $x=a$ のときにとる。

$M = f(a) = a^2 - 5a + 3$

3. 最終的な答え

(1) $M = 3$, $m = a^2 - 5a + 3$

(2) $M = 3$, $m = -\frac{13}{4}$

(3) $M = a^2 - 5a + 3$, $m = -\frac{13}{4}$