関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ (ただし、$0 \le x \le a$)の最大値を$M$、最小値を$m$とする。 (1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき、$M$と$m$を求めよ。 (2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき、$M$と$m$を求めよ。 (3) $a > 5$ のとき、$M$と$m$を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ (ただし、$0 \le x \le a$)の最大値を$M$、最小値を$m$とする。

(1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき、$M$と$m$を求めよ。

(2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき、$M$と$m$を求めよ。

(3) $a > 5$ のとき、$M$と$m$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = x^2 - 5x + 3$ のグラフの概形を調べる。

$f(x) = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + 3 = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{13}{4}$

よって、このグラフは、頂点が$(\frac{5}{2}, -\frac{13}{4})$の下に凸な放物線である。

(1) $0 < a < \frac{5}{2}$ のとき

この範囲では、$f(x)$は単調減少である。

したがって、最大値 $M$ は $x=0$ のとき $M = f(0) = 3$。

最小値 $m$ は $x=a$ のとき $m = f(a) = a^2 - 5a + 3$。

(2) $\frac{5}{2} \le a \le 5$ のとき

最小値 $m$ は頂点の$x$座標が範囲に含まれるので、$m = -\frac{13}{4}$。

最大値 $M$ は、$x=0$ または $x=a$ で与えられる。

$f(0) = 3$

$f(a) = a^2 - 5a + 3$

$0 \le a \le 5$なので、$f(0) - f(a) = 3 - (a^2-5a+3) = -a^2 + 5a = a(5-a)$

$a(5-a) \ge 0$　したがって、$f(0) \ge f(a)$

最大値 $M$ は $x=0$ のとき $M = f(0) = 3$。

(3) $a > 5$ のとき

最小値 $m$ は頂点の$x$座標が範囲に含まれるので、$m = -\frac{13}{4}$。

最大値 $M$ は、$x=0$ または $x=a$ で与えられる。

$f(0) = 3$

$f(a) = a^2 - 5a + 3$

$f(a) - f(0) = a^2 - 5a = a(a-5) > 0$。

したがって、$f(a) > f(0)$

最大値 $M$ は $x=a$ のとき $M = f(a) = a^2 - 5a + 3$。

3. 最終的な答え

(1) $M = 3$, $m = a^2 - 5a + 3$

(2) $M = 3$, $m = -\frac{13}{4}$

(3) $M = a^2 - 5a + 3$, $m = -\frac{13}{4}$