3個入り1セット450円と5個入り1セット700円の製品を販売しました。売れた製品の総数は50個で、5個入りセットの方が3個入りセットより多く売れました。どちらのセットも少なくとも1セットは売れたとき、売り上げの合計を求めます。

1. 問題の内容

3個入り1セット450円と5個入り1セット700円の製品を販売しました。売れた製品の総数は50個で、5個入りセットの方が3個入りセットより多く売れました。どちらのセットも少なくとも1セットは売れたとき、売り上げの合計を求めます。

2. 解き方の手順

まず、3個入りセットの数を $x$ 、5個入りセットの数を $y$ とします。

問題文より、以下の条件がわかります。

* $3x + 5y = 50$ (売れた製品の総数)

* $x \geq 1$ (3個入りセットは少なくとも1セット売れた)

* $y \geq 1$ (5個入りセットは少なくとも1セット売れた)

* $y > x$ (5個入りセットの方が3個入りセットより多く売れた)

$3x = 50 - 5y$より、$x = \frac{50-5y}{3}$。$x$は整数なので、$50-5y$は3で割り切れる必要があります。言い換えると、$50-5y \equiv 0 \pmod{3}$です。

$50 \equiv 2 \pmod{3}$、$5 \equiv 2 \pmod{3}$なので、$2 - 2y \equiv 0 \pmod{3}$。したがって、$2y \equiv 2 \pmod{3}$、$y \equiv 1 \pmod{3}$となります。

$y$が1以上の整数であること、$y > x$であること、$3x + 5y = 50$であることから、$y$の候補を絞り込みます。

* $y = 1$ のとき、$3x = 45$、$x = 15$。このとき、$y < x$なので不適。

* $y = 4$ のとき、$3x = 30$、$x = 10$。このとき、$y < x$なので不適。

* $y = 7$ のとき、$3x = 15$、$x = 5$。このとき、$y > x$であり、条件を満たします。

* $y = 10$ のとき、$3x = 0$、$x = 0$。このとき、$x \geq 1$に反するので不適。

したがって、$x = 5$、$y = 7$が唯一の解です。

売り上げの合計は、$450x + 700y = 450 \times 5 + 700 \times 7 = 2250 + 4900 = 7150$円です。

3. 最終的な答え

7150