複素数平面上に3点A($z$), B($z^3$), C($z^5$)がある。 (1) A, B, Cが異なる3点となるための$z$の条件を求めよ。 (2) 異なる3点A, B, Cが同一直線上にあるような$z$をすべて求めよ。 (3) A, B, Cが正三角形の頂点になるとき、$z$の値をすべて求めよ。さらにA, B, Cがこの順に反時計回りの位置にあるような$z$をすべて求めよ。 (4) 直線ACと直線BCが垂直であるとき、$|z|<1$ が成り立つことを示せ。

1. 問題の内容

複素数平面上に3点A($z$), B($z^3$), C($z^5$)がある。

(1) A, B, Cが異なる3点となるための$z$の条件を求めよ。

(2) 異なる3点A, B, Cが同一直線上にあるような$z$をすべて求めよ。

(3) A, B, Cが正三角形の頂点になるとき、$z$の値をすべて求めよ。さらにA, B, Cがこの順に反時計回りの位置にあるような$z$をすべて求めよ。

(4) 直線ACと直線BCが垂直であるとき、$|z|<1$ が成り立つことを示せ。

2. 解き方の手順

(1) A, B, Cが異なる3点となる条件は、$z \neq z^3$かつ$z \neq z^5$かつ$z^3 \neq z^5$。

$z \neq z^3$より、$z(1-z^2) \neq 0$。したがって、$z \neq 0, \pm 1$。

$z \neq z^5$より、$z(1-z^4) \neq 0$。したがって、$z \neq 0, \pm 1, \pm i$。

$z^3 \neq z^5$より、$z^3(1-z^2) \neq 0$。したがって、$z \neq 0, \pm 1$。

したがって、$z \neq 0, \pm 1, \pm i$。

(2) A, B, Cが同一直線上にある条件は、$\frac{z^3 - z}{z^5 - z}$が実数であること。

$\frac{z^3 - z}{z^5 - z} = \frac{z^2 - 1}{z^4 - 1} = \frac{z^2 - 1}{(z^2 - 1)(z^2 + 1)} = \frac{1}{z^2 + 1}$

これが実数であるためには、$z^2 + 1$が実数でなければならない。つまり、$z^2$が実数でなければならない。

$z = x + iy$とすると、$z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$。これが実数であるためには、$2xy = 0$。

したがって、$x = 0$または$y = 0$。

$x = 0$のとき、$z = iy$。$z^2 = -y^2$。$\frac{1}{z^2 + 1} = \frac{1}{-y^2 + 1}$。これは$y \neq \pm 1$のとき実数。

$y = 0$のとき、$z = x$。$z^2 = x^2$。$\frac{1}{z^2 + 1} = \frac{1}{x^2 + 1}$。これは常に実数。

ただし、$z \neq 0, \pm 1, \pm i$であるので、$x \neq 0, \pm 1$、$y \neq \pm 1$。

したがって、$z$は実数または純虚数で、$z \neq 0, \pm 1, \pm i$。

(3) A, B, Cが正三角形の頂点になる条件は、$z + \omega z^3 + \omega^2 z^5 = 0$または$z + \omega^2 z^3 + \omega z^5 = 0$。ただし、$\omega = e^{2\pi i/3}$。

$z + \omega z^3 + \omega^2 z^5 = 0$より、$1 + \omega z^2 + \omega^2 z^4 = 0$。

$z + \omega^2 z^3 + \omega z^5 = 0$より、$1 + \omega^2 z^2 + \omega z^4 = 0$。

A, B, Cが反時計回りの順に並ぶためには、$|z| = 1$かつ$z = e^{i\theta}$で$\theta = \frac{2\pi}{3}$が必要。

(4) 直線ACと直線BCが垂直である条件は、$\frac{z^5 - z}{z^3 - z}$が純虚数であること。

$\frac{z^5 - z}{z^3 - z} = \frac{z^4 - 1}{z^2 - 1} = z^2 + 1$。

$z^2 + 1$が純虚数であるためには、$z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$において、$x^2 - y^2 + 1 = 0$。

つまり、$x^2 - y^2 = -1$。

$|z|^2 = x^2 + y^2$。$x^2 - y^2 = -1$より、$x^2 = y^2 - 1$。

$|z|^2 = y^2 - 1 + y^2 = 2y^2 - 1$。

$|z| < 1$を示す必要がある。

ACとBCが垂直なので, $\arg \frac{z^5 - z}{z^3 - z} = \pm \frac{\pi}{2}$ より、$z^2+1 = ki$ (k は実数)。

$z^2 = x^2-y^2 + 2ixy$, よって, $z^2 + 1 = (x^2-y^2+1) + 2ixy = ki$, よって, $x^2 - y^2 + 1 = 0$.

$|z|^2 = x^2+y^2$, よって $x^2 + y^2 = -1 + 2y^2$.

$|z|^2 < 1 \Leftrightarrow -1+2y^2 < 1 \Leftrightarrow 2y^2 < 2 \Leftrightarrow y^2 < 1$.

$x^2 = y^2 - 1$ なので $x^2 > -1$, これは常に成立する。

$|z|^2 < 1$ が成り立つ. よって $|z| < 1$。

3. 最終的な答え

(1) $z \neq 0, \pm 1, \pm i$

(2) $z$は実数または純虚数で、$z \neq 0, \pm 1, \pm i$

(3) $1 + \omega z^2 + \omega^2 z^4 = 0$または$1 + \omega^2 z^2 + \omega z^4 = 0$。A, B, Cが反時計回りの順に並ぶためには、$|z| = 1$かつ$z = e^{i\theta}$で$\theta = \frac{2\pi}{3}$

(4) $|z| < 1$ が成り立つ