複素数 $\alpha$ について、$2\alpha + \overline{\alpha} = 1 - i$ が与えられているとき、$2\overline{\alpha} + \alpha$ を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha$ について、$2\alpha + \overline{\alpha} = 1 - i$ が与えられているとき、$2\overline{\alpha} + \alpha$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、複素数 $\alpha$ を $\alpha = x + yi$ （$x, y$ は実数）と置きます。

このとき、$\overline{\alpha} = x - yi$ となります。

与えられた式 $2\alpha + \overline{\alpha} = 1 - i$ に代入すると、

$2(x + yi) + (x - yi) = 1 - i$

$2x + 2yi + x - yi = 1 - i$

$(3x) + (y)i = 1 - i$

実部と虚部を比較して、次の連立方程式が得られます。

$3x = 1$

$y = -1$

したがって、$x = \frac{1}{3}$, $y = -1$ となります。

$\alpha = \frac{1}{3} - i$ であるから、$\overline{\alpha} = \frac{1}{3} + i$ となります。

次に、$2\overline{\alpha} + \alpha$ を計算します。

$2\overline{\alpha} + \alpha = 2(\frac{1}{3} + i) + (\frac{1}{3} - i)$

$= \frac{2}{3} + 2i + \frac{1}{3} - i$

$= (\frac{2}{3} + \frac{1}{3}) + (2i - i)$

$= 1 + i$

3. 最終的な答え

$2\overline{\alpha} + \alpha = 1 + i$