与えられた式 $ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a) = a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2$

次に、この式を $a$ について整理します。

$a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2 = (b-c)a^2 + (c^2-b^2)a + (b^2c-bc^2)$

$= (b-c)a^2 - (b^2-c^2)a + bc(b-c)$

$= (b-c)a^2 - (b+c)(b-c)a + bc(b-c)$

共通因数 $(b-c)$ で括り出します。

$= (b-c)[a^2 - (b+c)a + bc]$

括弧の中身を因数分解します。

$= (b-c)(a-b)(a-c)$

符号を調整して、循環するように並び替えます。

$= -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

与えられた式を因数分解した結果は、$-(a-b)(b-c)(c-a)$ です。