与えられた4つの多項式を因数分解する。 (1) $x^2 + 2xy + y^2 - 5x - 5y + 6$ (2) $x^2 - 3xy + 2y^2 + x + y - 6$ (3) $3x^2 + 4xy + y^2 + 7x + y - 6$ (4) $2x^2 + 5xy + 2y^2 - x + y - 1$

はい、承知いたしました。与えられた４つの式を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた4つの多項式を因数分解する。

(1) $x^2 + 2xy + y^2 - 5x - 5y + 6$

(2) $x^2 - 3xy + 2y^2 + x + y - 6$

(3) $3x^2 + 4xy + y^2 + 7x + y - 6$

(4) $2x^2 + 5xy + 2y^2 - x + y - 1$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 2xy + y^2 - 5x - 5y + 6$

まず、$x^2 + 2xy + y^2$ の部分を $(x+y)^2$ と因数分解します。

$(x+y)^2 - 5x - 5y + 6$

次に、$-5x - 5y$ を $-5(x+y)$ とします。

$(x+y)^2 - 5(x+y) + 6$

ここで、$A = x+y$ と置くと、

$A^2 - 5A + 6$

これは、$A$ についての二次式なので、因数分解できます。

$(A-2)(A-3)$

$A$ を $x+y$ に戻します。

$(x+y-2)(x+y-3)$

(2) $x^2 - 3xy + 2y^2 + x + y - 6$

まず、$x^2 - 3xy + 2y^2$ の部分を因数分解します。

$x^2 - 3xy + 2y^2 = (x-y)(x-2y)$

したがって、

$(x-y)(x-2y) + x + y - 6$

$(x-y+a)(x-2y+b)$ の形を仮定して展開すると、$ab = -6$となります。

ここで、$(x-y)(x-2y) + x + y - 6 = (x-y+3)(x-2y-2)$

これを展開すると、

$x^2-2xy -xy +2y^2 +3x-6y -2x+2y -6 = x^2 - 3xy + 2y^2 +x -4y -6$ となり、yの係数が異なるため、間違っています。

正しくは、$(x-2y+3)(x-y-2) = x^2 -xy -2x -2xy +2y^2 +4y +3x -3y -6 = x^2 -3xy + 2y^2 + x + y -6$

(3) $3x^2 + 4xy + y^2 + 7x + y - 6$

$3x^2 + 4xy + y^2 = (3x+y)(x+y)$ なので、

$(3x+y)(x+y) + 7x + y - 6$

$(3x+y+a)(x+y+b)$ の形を仮定すると、$ab = -6$となります。

$(3x+y+6)(x+y-1) = 3x^2+3xy-3x + xy + y^2 -y + 6x +6y -6 = 3x^2 +4xy +y^2+3x+5y -6$

$(3x+y-1)(x+y+6) = 3x^2 +3xy +18x +xy +y^2+6y -x-y-6 = 3x^2+4xy+y^2 + 17x +5y -6$

$(3x+y+3)(x+y-2) = 3x^2 + 3xy -6x +xy +y^2-2y +3x+3y-6 = 3x^2+4xy+y^2 -3x+y -6$

$(3x+y-2)(x+y+3) = 3x^2 +3xy+9x +xy +y^2+3y-2x-2y-6 = 3x^2 + 4xy + y^2 +7x+y-6$

(4) $2x^2 + 5xy + 2y^2 - x + y - 1$

$2x^2 + 5xy + 2y^2 = (2x+y)(x+2y)$ なので、

$(2x+y)(x+2y) - x + y - 1$

$(2x+y+a)(x+2y+b)$ の形を仮定すると、$ab = -1$となります。

$(2x+y-1)(x+2y+1) = 2x^2+4xy +2x +xy+2y^2+y -x-2y-1 = 2x^2 + 5xy +2y^2+x-y-1$

$(2x+y+1)(x+2y-1) = 2x^2 +4xy -2x +xy +2y^2-y +x+2y-1 = 2x^2 +5xy+2y^2 -x+y-1$

3. 最終的な答え

(1) $(x+y-2)(x+y-3)$

(2) $(x-2y+3)(x-y-2)$

(3) $(3x+y-2)(x+y+3)$

(4) $(2x+y+1)(x+2y-1)$