与えられた式 $(x^2 + x - 1)(x^2 - x + 1)$ を展開して整理し、最も簡単な形で表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x^2 + x - 1)(x^2 - x + 1)$ を展開して整理し、最も簡単な形で表す問題です。

2. 解き方の手順

式 $(x^2 + x - 1)(x^2 - x + 1)$ を展開します。

まず、$x^2 + 1 = A$ と置換すると、式は $(A + x)(A - x)$ となり、$A^2 - x^2$ となります。

$A$ を元に戻すと、$(x^2 + 1)^2 - x^2$ となります。

$(x^2 + 1)^2$ を展開すると、$x^4 + 2x^2 + 1$ となります。

よって、式は $x^4 + 2x^2 + 1 - x^2$ となり、$x^4 + x^2 + 1$ と整理できます。

$(x^2 + x - 1)(x^2 - x + 1) = x^2(x^2 - x + 1) + x(x^2 - x + 1) - 1(x^2 - x + 1)$

$= x^4 - x^3 + x^2 + x^3 - x^2 + x - x^2 + x - 1$

$= x^4 - x^2 + 2x - 1$

これは間違っています。

もう一度最初から計算します。

$(x^2 + x - 1)(x^2 - x + 1) = x^2(x^2 - x + 1) + x(x^2 - x + 1) - 1(x^2 - x + 1)$

$= x^4 - x^3 + x^2 + x^3 - x^2 + x - x^2 + x - 1$

$= x^4 - x^2 + 2x - 1$

これは正しくありません。

$A = x^2 + 1$ とおくと

$(x^2 + x - 1)(x^2 - x + 1) = (x^2 + 1 + x - 2)(x^2 + 1 - x)$

$= (A + x)(A - x) = A^2 - x^2$

$= (x^2 + 1)^2 - x^2$

$= (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2$

$= x^4 + x^2 + 1$

3. 最終的な答え

$x^4 + x^2 + 1$