点P(x, y)が、(1) $x^2 + y^2 \le 1$ および (2) $-1 \le x \le 1$ かつ $-1 \le y \le 1$ のそれぞれの範囲を動くとき、$X = x + y$ および $Y = xy$ で定まる点Q(X, Y)の存在範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

点P(x, y)が、(1) $x^2 + y^2 \le 1$ および (2) $-1 \le x \le 1$ かつ $-1 \le y \le 1$ のそれぞれの範囲を動くとき、$X = x + y$ および $Y = xy$ で定まる点Q(X, Y)の存在範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) の場合:

$x^2 + y^2 \le 1$ の範囲で点P(x,y) が動くとき、$X = x + y$、$Y = xy$ で定まる点Q(X,Y)の範囲を求めます。

$x$と$y$は $t$の2次方程式 $t^2 - Xt + Y = 0$ の解です。

実数解を持つ条件は、判別式 $D = X^2 - 4Y \ge 0$です。したがって、 $Y \le \frac{X^2}{4}$ です。

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = X^2 - 2Y \le 1$ なので、$2Y \ge X^2 - 1$となり、$Y \ge \frac{X^2}{2} - \frac{1}{2}$です。

したがって、$\frac{X^2}{2} - \frac{1}{2} \le Y \le \frac{X^2}{4}$ です。

$x^2+y^2\leq 1$ より、$x, y \in [-1, 1]$なので、$X = x+y$ の範囲は $-2 \le X \le 2$となります。

$X = x + y$ のとき、点 (x, y) は円 $x^2+y^2 = 1$ の上で動きます。

$X = x + y$ が固定されているとき、$y = X - x$ を $x^2 + y^2 \le 1$ に代入すると、$x^2 + (X - x)^2 \le 1$ となります。

整理すると、$2x^2 - 2Xx + X^2 - 1 \le 0$ となります。

この $x$ についての二次不等式が実数解を持つ条件は、判別式 $D' = X^2 - 2(X^2 - 1) \ge 0$ であり、$X^2 \le 2$ となります。したがって、$-\sqrt{2} \le X \le \sqrt{2}$ となります。

$Y = xy = x(X - x) = Xx - x^2$となります。これを $x$ について平方完成すると、 $Y = -\left(x - \frac{X}{2}\right)^2 + \frac{X^2}{4}$ となります。

$Y$ の最大値は $x = \frac{X}{2}$ のとき $\frac{X^2}{4}$ であり、最小値は $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $-\frac{1}{2}$ です。

よって、$\frac{X^2}{2} - \frac{1}{2} \le Y \le \frac{X^2}{4}$ および $-\sqrt{2} \le X \le \sqrt{2}$。

(2) の場合:

$-1 \le x \le 1$ かつ $-1 \le y \le 1$ の範囲で点P(x,y) が動くとき、$X = x + y$、$Y = xy$ で定まる点Q(X,Y)の範囲を求めます。

$x$と$y$は $t$の2次方程式 $t^2 - Xt + Y = 0$ の解です。

$f(t) = t^2 - Xt + Y$とします。

$f(-1) \ge 0$ かつ $f(1) \ge 0$ かつ 判別式 $D = X^2 - 4Y \ge 0$ が必要です。

$f(-1) = 1 + X + Y \ge 0$ より $Y \ge -X - 1$

$f(1) = 1 - X + Y \ge 0$ より $Y \ge X - 1$

$X = x + y$ なので、 $-2 \le X \le 2$です。

$Y = xy$ なので、$-1 \le Y \le 1$です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{X^2}{2} - \frac{1}{2} \le Y \le \frac{X^2}{4}$ かつ $-\sqrt{2} \le X \le \sqrt{2}$

(2) $Y \ge -X - 1$ かつ $Y \ge X - 1$ かつ $X^2 - 4Y \ge 0$ かつ $-2 \le X \le 2$ かつ $-1 \le Y \le 1$