$a$ は正の定数とする。2次関数 $y = 2x^2 - 8x + 9$ ($0 \le x \le a$) の最大値と、そのときの $x$ の値を次の各場合についてそれぞれ求めよ。 (1) $0 < a < 4$ (2) $a = 4$ (3) $4 < a$

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。2次関数 $y = 2x^2 - 8x + 9$ ($0 \le x \le a$) の最大値と、そのときの $x$ の値を次の各場合についてそれぞれ求めよ。

(1) $0 < a < 4$

(2) $a = 4$

(3) $4 < a$

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 8x + 9 = 2(x^2 - 4x) + 9 = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 9 = 2(x - 2)^2 - 8 + 9 = 2(x - 2)^2 + 1$

よって、この2次関数の頂点は $(2, 1)$ です。また、下に凸な放物線です。

(1) $0 < a < 4$ の場合、定義域は $0 \le x \le a$ です。軸 $x = 2$ はこの定義域に含まれています。

この範囲では、$x = 0$ のときに最大値をとります。

$x = 0$ のとき、$y = 2(0)^2 - 8(0) + 9 = 9$

したがって、$x = 0$ のとき最大値 $9$ をとります。

(2) $a = 4$ の場合、定義域は $0 \le x \le 4$ です。軸 $x = 2$ はこの定義域に含まれています。

この範囲では、$x = 0$ のときに最大値をとります。

$x = 0$ のとき、$y = 2(0)^2 - 8(0) + 9 = 9$

したがって、$x = 0$ のとき最大値 $9$ をとります。

(3) $4 < a$ の場合、定義域は $0 \le x \le a$ です。軸 $x = 2$ はこの定義域に含まれています。

この範囲では、$x = a$ のときに最大値をとります。

$x = a$ のとき、$y = 2a^2 - 8a + 9$

したがって、$x = a$ のとき最大値 $2a^2 - 8a + 9$ をとります。

3. 最終的な答え

(1) $x = 0$ のとき最大値 $9$

(2) $x = 0$ のとき最大値 $9$

(3) $x = a$ のとき最大値 $2a^2 - 8a + 9$