問題は2つの式をそれぞれ整理することです。 (11) $(x-b)(x-c)(c-b) + (x-c)(x-a)(a-c) + (x-a)(x-b)(b-a)$ (12) $x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y)$

1. 問題の内容

問題は2つの式をそれぞれ整理することです。

(11) $(x-b)(x-c)(c-b) + (x-c)(x-a)(a-c) + (x-a)(x-b)(b-a)$

(12) $x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y)$

2. 解き方の手順

(11)の式を展開して整理します。

$(x-b)(x-c)(c-b) = (x^2 - (b+c)x + bc)(c-b) = (c-b)x^2 - (b+c)(c-b)x + bc(c-b)$

$(x-c)(x-a)(a-c) = (x^2 - (c+a)x + ca)(a-c) = (a-c)x^2 - (c+a)(a-c)x + ca(a-c)$

$(x-a)(x-b)(b-a) = (x^2 - (a+b)x + ab)(b-a) = (b-a)x^2 - (a+b)(b-a)x + ab(b-a)$

これらの和は以下のようになります。

$((c-b)+(a-c)+(b-a))x^2 - ((b+c)(c-b) + (c+a)(a-c) + (a+b)(b-a))x + (bc(c-b) + ca(a-c) + ab(b-a))$

$x^2$の係数は $(c-b)+(a-c)+(b-a) = 0$ です。

$x$の係数は

$-(b+c)(c-b) - (c+a)(a-c) - (a+b)(b-a) = -(c^2-b^2) - (a^2 - c^2) - (b^2-a^2) = -c^2 + b^2 - a^2 + c^2 - b^2 + a^2 = 0$

定数項は

$bc(c-b) + ca(a-c) + ab(b-a) = bc^2 - b^2c + ca^2 - c^2a + ab^2 - a^2b = bc(c-b) + a^2(c-b) - a(c^2 - b^2) = (c-b)(bc + a^2 - a(c+b)) = (c-b)(bc + a^2 - ac - ab) = (c-b)(c(b-a) - a(b-a)) = (c-b)(c-a)(b-a) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

したがって、全体の式は0になります。

(12)の式を展開して整理します。

$x^3(y-z) + y^3(z-x) + z^3(x-y) = x^3(y-z) + y^3z - y^3x + z^3x - z^3y$

$= x^3(y-z) - x(y^3-z^3) + y^3z - z^3y = x^3(y-z) - x(y-z)(y^2 + yz + z^2) + yz(y^2 - z^2)$

$= (y-z)(x^3 - x(y^2 + yz + z^2) + yz(y+z)) = (y-z)(x^3 - xy^2 - xyz - xz^2 + y^2z + yz^2)$

$= (y-z)(x^3 - xy^2 - xz^2 + y^2z - xyz + yz^2)$

$= (y-z)(x-y)(x-z)(x+y+z)$

$= -(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$

3. 最終的な答え

(11) 0

(12) -(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)