次の等式を満たす定数 $a$ と $b$ を求める問題です。 $\frac{x-1}{(x+2)(x+1)} = \frac{a}{x+2} + \frac{b}{x+1}$

1. 問題の内容

次の等式を満たす定数 $a$ と $b$ を求める問題です。

$\frac{x-1}{(x+2)(x+1)} = \frac{a}{x+2} + \frac{b}{x+1}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた等式の右辺を通分します。

$\frac{a}{x+2} + \frac{b}{x+1} = \frac{a(x+1) + b(x+2)}{(x+2)(x+1)}$

したがって、与えられた等式は、

$\frac{x-1}{(x+2)(x+1)} = \frac{a(x+1) + b(x+2)}{(x+2)(x+1)}$

となります。

分母が等しいので、分子が等しくなければなりません。つまり、

$x-1 = a(x+1) + b(x+2)$

この式が任意の $x$ について成り立つためには、$x$ の係数と定数項がそれぞれ等しくなければなりません。展開すると、

$x-1 = ax + a + bx + 2b$

$x-1 = (a+b)x + (a+2b)$

したがって、以下の連立方程式が得られます。

$a+b=1$

$a+2b=-1$

この連立方程式を解きます。

2番目の式から1番目の式を引くと、

$(a+2b)-(a+b)=-1-1$

$b=-2$

$a+b=1$ に $b=-2$ を代入すると、

$a+(-2)=1$

$a=3$

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = -2$