与えられた2つの2次関数 $f(x) = x^2 - 2x + 1$ と $g(x) = -x^2 + 2ax - 6a + 13$ があります。 (1) $0 \leq x \leq 3$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求めます。 (2) $g(x)$ の最大値が8以下となるような $a$ の値の範囲を求めます。 (3) 関数 $h(x)$ を $h(x) = \begin{cases} f(x) & (x < 3) \\ g(x) & (x \geq 3) \end{cases}$ で定義します。$a > 3$ のとき、$3-a \leq x \leq 6$ における $h(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とします。 (i) $m \geq 0$ となるような $a$ の値の範囲を求めます。 (ii) $m \geq 0$ かつ $M \leq 8$ となるような $a$ の値の範囲を求めます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた2つの2次関数 $f(x) = x^2 - 2x + 1$ と $g(x) = -x^2 + 2ax - 6a + 13$ があります。

(1) $0 \leq x \leq 3$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求めます。

(2) $g(x)$ の最大値が8以下となるような $a$ の値の範囲を求めます。

(3) 関数 $h(x)$ を $h(x) = \begin{cases} f(x) & (x < 3) \\ g(x) & (x \geq 3) \end{cases}$ で定義します。$a > 3$ のとき、$3-a \leq x \leq 6$ における $h(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とします。

(i) $m \geq 0$ となるような $a$ の値の範囲を求めます。

(ii) $m \geq 0$ かつ $M \leq 8$ となるような $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$

$0 \leq x \leq 3$ において、

$f(x)$ は $x=1$ で最小値 $f(1) = 0$ をとります。

$x=3$ で最大値 $f(3) = (3-1)^2 = 4$ をとります。

(2) $g(x) = -x^2 + 2ax - 6a + 13 = -(x^2 - 2ax) - 6a + 13 = -(x-a)^2 + a^2 - 6a + 13$

$g(x)$ の最大値は $a^2 - 6a + 13$ です。これが8以下なので、

$a^2 - 6a + 13 \leq 8$

$a^2 - 6a + 5 \leq 0$

$(a-1)(a-5) \leq 0$

$1 \leq a \leq 5$

(3) (i) $3 - a \leq x \leq 6$ における $h(x)$ の最小値 $m$ を考えます。$a>3$ であることに注意します。

$f(x) = (x-1)^2$, $g(x) = -(x-a)^2 + a^2 - 6a + 13$ でした。

$3-a < 0$ なので、$x=0$ は $3-a \leq x \leq 6$ の範囲に含まれる可能性があります。

$x=3$ を境に $f(x)$ と $g(x)$ が切り替わります。

区間 $[3-a, 6]$ において、

$3-a \leq x < 3$ では $h(x) = f(x) = (x-1)^2$

$3 \leq x \leq 6$ では $h(x) = g(x) = -(x-a)^2 + a^2 - 6a + 13$

$f(x)$ は $x=1$ で最小値 $0$ をとります。$g(x)$ は $x=a$ で最大値 $a^2 - 6a + 13$ をとります。

$3-a \leq x \leq 6$ における $h(x)$ の最小値 $m$ について考えます。

$3-a \leq x < 3$ では $h(x) = f(x) = (x-1)^2$ なので、最小値の候補は $x=1$ です。このとき、 $h(1) = (1-1)^2 = 0$ です。

$3 \leq x \leq 6$ では $h(x) = g(x) = -(x-a)^2 + a^2 - 6a + 13$ なので、最小値の候補は区間の端点です。

$h(3) = g(3) = -9 + 6a - 6a + 13 = 4$

$h(6) = g(6) = -36 + 12a - 6a + 13 = 6a - 23$

最小値 $m$ は、$0$, $4$, $6a - 23$ のうちの最小値です。

$m \geq 0$ となる条件を考えます。$4 \geq 0$ は常に成り立つので、$6a - 23 \geq 0$ であればよいです。

$6a \geq 23$

$a \geq \frac{23}{6} = 3.833\dots$

$a > 3$ という条件があるので、$a \geq \frac{23}{6}$ が条件となります。

(ii) $m \geq 0$ かつ $M \leq 8$ となるような $a$ の範囲を求めます。

$m \geq 0$ より、$a \geq \frac{23}{6}$ です。

$3-a \leq x \leq 6$ における $h(x)$ の最大値 $M$ を考えます。

$f(x)$ は $x=3$ で $f(3) = (3-1)^2 = 4$ をとります。

$g(x)$ は $x=a$ で $g(a) = a^2 - 6a + 13$ をとります。

最大値 $M$ の候補は、$f(3) = 4$ と $g(a) = a^2 - 6a + 13$ と $g(3) = 4$ と $g(6) = 6a - 23$ です。

$M \leq 8$ となる条件を考えます。

$a^2 - 6a + 13 \leq 8$ より、$a^2 - 6a + 5 \leq 0$ なので、$1 \leq a \leq 5$ となります。

$6a - 23 \leq 8$ より、$6a \leq 31$ なので、$a \leq \frac{31}{6} = 5.166\dots$ となります。

$4 \leq 8$ は常に成り立ちます。

$a \geq \frac{23}{6}$ と $1 \leq a \leq 5$ と $a > 3$ という条件があるので、$\frac{23}{6} \leq a \leq 5$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 4, 最小値: 0

(2) $1 \leq a \leq 5$

(3) (i) $a \geq \frac{23}{6}$

(ii) $\frac{23}{6} \leq a \leq 5$