与えられた式 $8a^2 + 2ab - 3b^2$ を因数分解する問題です。

代数学因数分解二次式多項式
2025/4/18

1. 問題の内容

与えられた式 8a2+2ab3b28a^2 + 2ab - 3b^2 を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式は二次式なので、 (pa+qb)(ra+sb)(pa + qb)(ra + sb) の形に因数分解できると仮定します。
展開すると pra2+(ps+qr)ab+qsb2pra^2 + (ps + qr)ab + qsb^2 となります。
元の式と比較して、次の関係が得られます。
pr=8pr = 8
ps+qr=2ps + qr = 2
qs=3qs = -3
pr=8pr = 8qs=3qs = -3 を満たす整数 p,q,r,sp, q, r, s を探します。
p=4,r=2p = 4, r = 2q=1,s=3q = -1, s = 3 を試してみます。
すると、ps+qr=4(3)+(1)(2)=122=10ps + qr = 4(3) + (-1)(2) = 12 - 2 = 10 となり、22 になりません。
p=4,r=2p = 4, r = 2q=1,s=3q = 1, s = -3 を試してみます。
すると、ps+qr=4(3)+(1)(2)=12+2=10ps + qr = 4(-3) + (1)(2) = -12 + 2 = -10 となり、22 になりません。
p=4,r=2p = 4, r = 2q=3,s=1q = 3, s = -1 を試してみます。
すると、ps+qr=4(1)+(3)(2)=4+6=2ps + qr = 4(-1) + (3)(2) = -4 + 6 = 2 となり、一致します。
したがって、8a2+2ab3b2=(4a+3b)(2ab)8a^2 + 2ab - 3b^2 = (4a + 3b)(2a - b) となります。

3. 最終的な答え

(4a+3b)(2ab)(4a + 3b)(2a - b)

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