実数 $x, y$ が不等式 $x^2 + xy + y^2 \le 3$ を満たすとき、$X = x + y, Y = xy$ について、点 $(X, Y)$ の存在する範囲を $XY$ 平面上に図示せよ。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が不等式 $x^2 + xy + y^2 \le 3$ を満たすとき、$X = x + y, Y = xy$ について、点 $(X, Y)$ の存在する範囲を $XY$ 平面上に図示せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + xy + y^2 \le 3$ を $X, Y$ で表すことを考える。

$X = x + y$ より、$X^2 = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

$Y = xy$ であるから、$x^2 + y^2 = X^2 - 2Y$ となる。

これらを不等式に代入すると、$x^2 + xy + y^2 = x^2 + y^2 + xy = X^2 - 2Y + Y = X^2 - Y$ となるので、$X^2 - Y \le 3$ が得られる。

よって、$Y \ge X^2 - 3$ を得る。

次に、$x, y$ が実数であるための $X, Y$ の条件を求める。

$x, y$ を解とする $t$ の二次方程式を考えると、$t^2 - Xt + Y = 0$ となる。

$x, y$ が実数解を持つためには、この二次方程式の判別式 $D$ が $D \ge 0$ である必要がある。

$D = X^2 - 4Y \ge 0$ より、$Y \le \frac{1}{4}X^2$ を得る。

以上より、求める領域は、$Y \ge X^2 - 3$ かつ $Y \le \frac{1}{4}X^2$ を満たす領域である。

$Y = X^2 - 3$ と $Y = \frac{1}{4}X^2$ の交点を求めると、

$X^2 - 3 = \frac{1}{4}X^2$

$\frac{3}{4}X^2 = 3$

$X^2 = 4$

$X = \pm 2$

$X = 2$ のとき $Y = 1$

$X = -2$ のとき $Y = 1$

したがって、交点は $(2, 1), (-2, 1)$ である。

3. 最終的な答え

求める領域は、$Y \ge X^2 - 3$ かつ $Y \le \frac{1}{4}X^2$ を満たす領域である。

境界線を含み、放物線 $Y = \frac{1}{4}X^2$ の下側、放物線 $Y = X^2 - 3$ の上側の領域を図示する。交点は $(2, 1), (-2, 1)$ である。