数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その初項と漸化式は以下の通りです。 $a_1 = 2$ $a_{n+1} = 3a_n + 4$ この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その初項と漸化式は以下の通りです。

$a_1 = 2$

$a_{n+1} = 3a_n + 4$

この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式は $a_{n+1} = 3a_n + 4$ です。この漸化式を解くために、特性方程式を利用します。

特性方程式を $x = 3x + 4$ とおくと、

$-2x = 4$

$x = -2$

そこで、$a_n + 2 = b_n$ とおくと、$a_n = b_n - 2$となります。これを漸化式に代入すると、

$b_{n+1} - 2 = 3(b_n - 2) + 4$

$b_{n+1} - 2 = 3b_n - 6 + 4$

$b_{n+1} = 3b_n$

これは等比数列の漸化式です。初項 $b_1$ は $a_1 = 2$ より、

$b_1 = a_1 + 2 = 2 + 2 = 4$

したがって、$b_n = 4 \cdot 3^{n-1}$

よって、$a_n = b_n - 2 = 4 \cdot 3^{n-1} - 2$

3. 最終的な答え

$a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - 2$