実数係数の3次方程式 $x^3 + ax + b = 0$ が $1+i$ を解に持つとき、以下の問いに答える。 (4) 実数 $p, q$ を係数とする2次方程式 $x^2 + px + q = 0$ が $1+i$ を解に持つとき、$p$ と $q$ の値をそれぞれ求める。 (5) (4) で求めた $p, q$ に対して、$x^3 + ax + b$ は $x^2 + px + q$ で割り切れる。これを用いて、実数 $a, b$ の値を求める。 (6) $x^3 + ax + b = 0$ の $1+i$ 以外の解を求める。

1. 問題の内容

実数係数の3次方程式 $x^3 + ax + b = 0$ が $1+i$ を解に持つとき、以下の問いに答える。

(4) 実数 $p, q$ を係数とする2次方程式 $x^2 + px + q = 0$ が $1+i$ を解に持つとき、$p$ と $q$ の値をそれぞれ求める。

(5) (4) で求めた $p, q$ に対して、$x^3 + ax + b$ は $x^2 + px + q$ で割り切れる。これを用いて、実数 $a, b$ の値を求める。

(6) $x^3 + ax + b = 0$ の $1+i$ 以外の解を求める。

2. 解き方の手順

(4) 2次方程式 $x^2 + px + q = 0$ が実数係数であり、$1+i$ を解に持つとき、共役複素数 $1-i$ も解に持つ。

解と係数の関係より、

$p = -((1+i) + (1-i)) = -2$

$q = (1+i)(1-i) = 1 - i^2 = 1 - (-1) = 2$

したがって、$p = -2, q = 2$。

(5) (4) より、$x^2 + px + q = x^2 - 2x + 2$。

$x^3 + ax + b$ が $x^2 - 2x + 2$ で割り切れるので、商を $x + k$ とおくと

$x^3 + ax + b = (x^2 - 2x + 2)(x+k) = x^3 + (k-2)x^2 + (2-2k)x + 2k$

係数を比較すると、$x^2$ の係数について $k-2 = 0$ より $k = 2$。

$x^3 + ax + b = x^3 + (2-2k)x + 2k = x^3 - 2x + 4$

$x$ の係数について $a = -2$

定数項について $b = 4$

(6) (5) より、$x^3 - 2x + 4 = (x^2 - 2x + 2)(x+2) = 0$。

よって、$x^2 - 2x + 2 = 0$ または $x+2 = 0$。

$x = 1+i, 1-i$ または $x = -2$。

したがって、$1+i$ 以外の解は $1-i$ と $-2$。

3. 最終的な答え

(4) $p = -2$, $q = 2$

(5) $a = -2$, $b = 4$

(6) $1-i$, $-2$