$\omega$ を 1 の 3 乗根のうち、実数でないものの一つとする。このとき、以下の式の値を求める。 (7) $\omega^2 + \omega + 1$ (8) $\omega^{10} + \omega^5 + 1$ (9) $(1 - \omega)(1 - \omega^2)$

1. 問題の内容

$\omega$ を 1 の 3 乗根のうち、実数でないものの一つとする。このとき、以下の式の値を求める。

(7) $\omega^2 + \omega + 1$

(8) $\omega^{10} + \omega^5 + 1$

(9) $(1 - \omega)(1 - \omega^2)$

2. 解き方の手順

$\omega$ は $x^3 = 1$ の解であるから、$\omega^3 = 1$ が成り立つ。また、$\omega$ は実数ではないので、$\omega \neq 1$ である。

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$ より、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ が成り立つ。

(7) $\omega^2 + \omega + 1$ の値

上記より、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ である。

(8) $\omega^{10} + \omega^5 + 1$ の値

$\omega^3 = 1$ より、$\omega^{10} = (\omega^3)^3 \cdot \omega = \omega$ であり、$\omega^5 = (\omega^3) \cdot \omega^2 = \omega^2$ である。

したがって、$\omega^{10} + \omega^5 + 1 = \omega + \omega^2 + 1 = 0$ である。

(9) $(1 - \omega)(1 - \omega^2)$ の値

$(1 - \omega)(1 - \omega^2) = 1 - \omega - \omega^2 + \omega^3 = 1 - (\omega + \omega^2) + \omega^3$

$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ より、$\omega + \omega^2 = -1$ である。また、$\omega^3 = 1$ である。

したがって、$(1 - \omega)(1 - \omega^2) = 1 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$ である。

3. 最終的な答え

(7) 0

(8) 0

(9) 3