問題は、与えられた多項式について、以下の設問に答えるものです。 基本1: 単項式の係数と次数を求め、指定された文字に着目した場合の係数と次数を求める。 基本2: 多項式の同類項をまとめ、その式の次数を求める。 基本3: 多項式が、指定された文字に着目すると何次式になるか、またそのときの定数項を求める。 基本4: 多項式を、$x$について降べきの順に整理する。 基本5: 多項式$A$と$B$について、$A+B$と$A-B$を計算する。 基本6: 与えられた式を計算する。 基本7: 与えられた式を展開する。

1. 問題の内容

問題は、与えられた多項式について、以下の設問に答えるものです。

基本1: 単項式の係数と次数を求め、指定された文字に着目した場合の係数と次数を求める。

基本2: 多項式の同類項をまとめ、その式の次数を求める。

基本3: 多項式が、指定された文字に着目すると何次式になるか、またそのときの定数項を求める。

基本4: 多項式を、$x$について降べきの順に整理する。

基本5: 多項式$A$と$B$について、$A+B$と$A-B$を計算する。

基本6: 与えられた式を計算する。

基本7: 与えられた式を展開する。

2. 解き方の手順

**基本1**

(1) $6xy^2$ [$x$]

係数: 6, 次数: 3 ($x$に関して: 係数 $6y^2$, 次数: 1)

(2) $-abx$ [$a$]

係数: -1, 次数: 3 ($a$に関して: 係数 $-bx$, 次数: 1)

(3) $-7ax^5y^3$ [$x$と$y$]

係数: -7, 次数: 9 ($x$と$y$に関して: 係数 $-7a$, 次数: 8)

**基本2**

(1) $4x^2+x-1+3x-x^2+6$

同類項をまとめると: $3x^2 + 4x + 5$

次数: 2

(2) $2a^2 - 3ab + 3b^2 + 4ab - 5b^2 + a^2$

同類項をまとめると: $3a^2 + ab - 2b^2$

次数: 2

**基本3**

(1) $ax + by + cz$ [$x$]

$x$について1次式, 定数項は$by+cz$

(2) $ax^2 + 3bxy - cy^2 + d$ [$y$]

$y$について2次式, 定数項は $ax^2 + d$

**基本4**

(1) $x - ax^2 + 2x^2 + b$

$x$について降べきの順に整理すると: $(2-a)x^2 + x + b$

(2) $x + 3y^2 - x^2 - 2y + 1 + xy$

$x$について降べきの順に整理すると: $-x^2 + (y+1)x + (3y^2 - 2y + 1)$

**基本5**

(1) $A = 3x^2 - 4x - 2, B = -x^2 - 4x + 2$

$A + B = (3x^2 - 4x - 2) + (-x^2 - 4x + 2) = 2x^2 - 8x$

$A - B = (3x^2 - 4x - 2) - (-x^2 - 4x + 2) = 4x^2 - 4$

(2) $A = 4x^3 - 2x^2 + 3x - 6, B = 2x^3 - 3x - 5$

$A + B = (4x^3 - 2x^2 + 3x - 6) + (2x^3 - 3x - 5) = 6x^3 - 2x^2 - 11$

$A - B = (4x^3 - 2x^2 + 3x - 6) - (2x^3 - 3x - 5) = 2x^3 - 2x^2 + 6x - 1$

**基本6**

(1) $a^3 \times a^5 = a^{3+5} = a^8$

(2) $(a^2)^4 = a^{2 \times 4} = a^8$

(3) $(-a^3)^2 = (-1)^2 (a^3)^2 = a^{3 \times 2} = a^6$

(4) $(-2a^2b^3)^3 = (-2)^3 (a^2)^3 (b^3)^3 = -8a^6b^9$

(5) $3x^2y^4 \times (-4x^4y^3) = 3 \times (-4) x^{2+4} y^{4+3} = -12x^6y^7$

(6) $(-5x^3y)^2 \times (xy^3)^3 = (-5)^2 (x^3)^2 y^2 \times x^3 (y^3)^3 = 25x^6y^2 \times x^3 y^9 = 25x^9y^{11}$

**基本7**

(1) $2xy(2x^2 - 3xy - y^2) = 4x^3y - 6x^2y^2 - 2xy^3$

(2) $12ab^2(\frac{a^2}{3} - \frac{ab}{6} - \frac{b^2}{4}) = 12ab^2 \times \frac{a^2}{3} - 12ab^2 \times \frac{ab}{6} - 12ab^2 \times \frac{b^2}{4} = 4a^3b^2 - 2a^2b^3 - 3ab^4$

3. 最終的な答え

**基本1**

(1) 係数: 6, 次数: 3 ($x$に関して: 係数 $6y^2$, 次数: 1)

(2) 係数: -1, 次数: 3 ($a$に関して: 係数 $-bx$, 次数: 1)

(3) 係数: -7, 次数: 9 ($x$と$y$に関して: 係数 $-7a$, 次数: 8)

**基本2**

(1) $3x^2 + 4x + 5$, 次数: 2

(2) $3a^2 + ab - 2b^2$, 次数: 2

**基本3**

(1) 1次式, 定数項: $by+cz$

(2) 2次式, 定数項: $ax^2 + d$

**基本4**

(1) $(2-a)x^2 + x + b$

(2) $-x^2 + (y+1)x + (3y^2 - 2y + 1)$

**基本5**

(1) $A+B = 2x^2 - 8x, A-B = 4x^2 - 4$

(2) $A+B = 6x^3 - 2x^2 - 11, A-B = 2x^3 - 2x^2 + 6x - 1$

**基本6**

(1) $a^8$

(2) $a^8$

(3) $a^6$

(4) $-8a^6b^9$

(5) $-12x^6y^7$

(6) $25x^9y^{11}$

**基本7**

(1) $4x^3y - 6x^2y^2 - 2xy^3$

(2) $4a^3b^2 - 2a^2b^3 - 3ab^4$