与えられた方程式 $|x^2 - x - 2| = x + k$ について、以下の問いに答えます。 (1) $k=0$ のときの方程式の解を求めます。 (2) 方程式の解の個数が4個となる $k$ の値の範囲を求めます。 (3) 方程式の解の個数が4個のとき、その解を $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ とし、$\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4$ と $\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4$ を $k$ で表します。

はい、承知しました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $|x^2 - x - 2| = x + k$ について、以下の問いに答えます。

(1) $k=0$ のときの方程式の解を求めます。

(2) 方程式の解の個数が4個となる $k$ の値の範囲を求めます。

(3) 方程式の解の個数が4個のとき、その解を $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ とし、$\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4$ と $\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4$ を $k$ で表します。

2. 解き方の手順

(1) $k=0$ のときの方程式 $|x^2 - x - 2| = x$ を解きます。

絶対値を外すために、場合分けを行います。

(i) $x^2 - x - 2 \geq 0$ のとき、$x^2 - x - 2 = x$ より $x^2 - 2x - 2 = 0$。

解の公式より $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$。

$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) \geq 0$ より、$x \leq -1$ または $x \geq 2$。

$x = 1 + \sqrt{3} \approx 1 + 1.732 = 2.732 > 2$ なので条件を満たします。

$x = 1 - \sqrt{3} \approx 1 - 1.732 = -0.732 > -1$ かつ $x < 2$ なので条件を満たしません。

(ii) $x^2 - x - 2 < 0$ のとき、$-(x^2 - x - 2) = x$ より $-x^2 + x + 2 = x$。

$x^2 = 2$ より $x = \pm \sqrt{2}$。

$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) < 0$ より $-1 < x < 2$。

$x = \sqrt{2} \approx 1.414$ なので条件を満たします。

$x = -\sqrt{2} \approx -1.414 < -1$ なので条件を満たしません。

したがって、$k=0$ のときの解は $x = 1 + \sqrt{3}, \sqrt{2}$ です。

(2) $|x^2 - x - 2| = x + k$ の解の個数が4個となる $k$ の範囲を求めます。

$y = |x^2 - x - 2|$ と $y = x + k$ のグラフの交点の個数を考えます。

$y = x + k$ は傾き1の直線で、$k$ は $y$ 切片です。

$x^2 - x - 2 = 0$ となるのは $x = 2, -1$ です。

$x^2 - x - 2 = x + k$ の解の個数が4個となるためには、$-9/4 < k < 2$ である必要があります。

(3) 解の個数が4個のとき、解を $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ とします。$\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4$ と $\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4$ を $k$ で表します。

$|x^2 - x - 2| = x + k$ より、

$x^2 - x - 2 = x + k$ または $x^2 - x - 2 = -(x+k)$。

$x^2 - 2x - (2+k) = 0$ または $x^2 - 2 = -k$, つまり $x^2 = 2 - k$, $x^2 - x - 2 = x + k$を整理すると$x^2 - 2x - (k+2)=0$. また$x^2 - x - 2 = -x -k$を整理すると、$x^2 -(2-k) =0$.

前者の解を$x_1, x_2$, 後者の解を$x_3, x_4$とすると、$x_1+x_2=2$、$x_3+x_4=0$より、$\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 = 2$.

後者の積$x_3 x_4 = -2 +k$

前者の積$x_1 x_2= -2 -k$

よって、求める積$\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 = (k+2)(2-k) =4-k^2$

3. 最終的な答え

(1) $x = 1 + \sqrt{3}, \sqrt{2}$

(2) $-9/4 < k < 2$

(3) $\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 + \alpha_4 = 2$, $\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 = 4-k^2$