実数係数の3次方程式 $x^3 + ax + b = 0$ が $1+i$ を解にもつとする。 (4) 実数 $p, q$ について、$x^2 + px + q = 0$ が $1+i$ を解にもつとき、$p, q$ の値を求めよ。 (5) (4) で求めた $p, q$ に対して、$x^3 + ax + b$ が $x^2 + px + q$ で割り切れるとき、実数 $a, b$ の値を求めよ。 (6) $x^3 + ax + b = 0$ の $1+i$ 以外の解を求めよ。

1. 問題の内容

実数係数の3次方程式 $x^3 + ax + b = 0$ が $1+i$ を解にもつとする。

(4) 実数 $p, q$ について、$x^2 + px + q = 0$ が $1+i$ を解にもつとき、$p, q$ の値を求めよ。

(5) (4) で求めた $p, q$ に対して、$x^3 + ax + b$ が $x^2 + px + q$ で割り切れるとき、実数 $a, b$ の値を求めよ。

(6) $x^3 + ax + b = 0$ の $1+i$ 以外の解を求めよ。

2. 解き方の手順

(4)

$x^2 + px + q = 0$ が $1+i$ を解にもつとき、係数が実数なので $1-i$ も解にもつ。

解と係数の関係より、

$p = -( (1+i) + (1-i) ) = -2$

$q = (1+i)(1-i) = 1 - i^2 = 1 - (-1) = 2$

よって、$p = -2, q = 2$。

(5)

$x^3 + ax + b$ が $x^2 - 2x + 2$ で割り切れるので、

$x^3 + ax + b = (x^2 - 2x + 2)(x + k)$ とかける。（$k$は実数）

右辺を展開すると、

$(x^2 - 2x + 2)(x + k) = x^3 + kx^2 - 2x^2 - 2kx + 2x + 2k = x^3 + (k-2)x^2 + (2-2k)x + 2k$

係数比較より、

$k-2 = 0$ なので $k=2$。

$a = 2 - 2k = 2 - 2(2) = 2 - 4 = -2$

$b = 2k = 2(2) = 4$

よって、$a = -2, b = 4$。

(6)

(5) より、$x^3 + ax + b = x^3 - 2x + 4 = (x^2 - 2x + 2)(x + 2) = 0$

$x^2 - 2x + 2 = 0$ の解は $1+i, 1-i$。

$x+2 = 0$ の解は $x = -2$。

したがって、$1+i$ 以外の解は $-2$。

3. 最終的な答え

(4) $p = -2, q = 2$

(5) $a = -2, b = 4$

(6) $-2$