数列$\{a_n\}$が$a_1=2$, $a_{n+1} = 3a_n + 4$を満たすとき、一般項$a_n$を求めよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が$a_1=2$, $a_{n+1} = 3a_n + 4$を満たすとき、一般項$a_n$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 4$ を $a_{n+1} + \alpha = 3(a_n + \alpha)$ の形に変形することを試みます。この式を展開すると、$a_{n+1} + \alpha = 3a_n + 3\alpha$ となります。これが元の漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 4$ と同じになるためには、$\alpha = 3\alpha - 4$ が成り立つ必要があります。これを解くと、$-2\alpha = -4$ より $\alpha = 2$ となります。

したがって、漸化式は $a_{n+1} + 2 = 3(a_n + 2)$ と変形できます。

ここで、$b_n = a_n + 2$ とおくと、$b_{n+1} = 3b_n$ となり、$b_n$ は公比3の等比数列であることがわかります。

初項 $b_1$ は $b_1 = a_1 + 2 = 2 + 2 = 4$ となります。

したがって、$b_n = b_1 \cdot 3^{n-1} = 4 \cdot 3^{n-1}$ です。

$a_n = b_n - 2$ より、

$a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - 2$

3. 最終的な答え

$a_n = 4 \cdot 3^{n-1} - 2$