$P(x) = 2x^3 - 6x^2 - 3x + 4$ が与えられている。 (1) $x^2 + ax + b = 0$ が $x=2-i$ を解に持つように、実数 $a, b$ の値を定める。 (2) (1)で求めた $a, b$ を用いて、$P(x)$ を $x^2 + ax + b$ で割ったときの商と余りを求める。 (3) $x=2-i$ のときの $P(x)$ の値を求める。

1. 問題の内容

$P(x) = 2x^3 - 6x^2 - 3x + 4$ が与えられている。

(1) $x^2 + ax + b = 0$ が $x=2-i$ を解に持つように、実数 $a, b$ の値を定める。

(2) (1)で求めた $a, b$ を用いて、$P(x)$ を $x^2 + ax + b$ で割ったときの商と余りを求める。

(3) $x=2-i$ のときの $P(x)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$x^2 + ax + b = 0$ が $x=2-i$ を解に持つので、$2-i$ を代入すると、

$(2-i)^2 + a(2-i) + b = 0$

$4 - 4i - 1 + 2a - ai + b = 0$

$(3 + 2a + b) - (4+a)i = 0$

$a, b$ は実数なので、実部と虚部がそれぞれ0になる。

$3 + 2a + b = 0$

$4 + a = 0$

$a = -4$

$3 + 2(-4) + b = 0$

$3 - 8 + b = 0$

$b = 5$

よって、$a = -4$, $b = 5$.

(2)

$P(x) = 2x^3 - 6x^2 - 3x + 4$ を $x^2 - 4x + 5$ で割る。

筆算を行うと、

```

2x + 2

x^2-4x+5 | 2x^3 - 6x^2 - 3x + 4

2x^3 - 8x^2 + 10x

---------------------

2x^2 - 13x + 4

2x^2 - 8x + 10

---------------------

-5x - 6

```

よって、商は $2x+2$, 余りは $-5x - 6$.

(3)

$P(x) = (x^2 - 4x + 5)(2x+2) + (-5x - 6)$

$x = 2-i$ のとき、$x^2 - 4x + 5 = 0$ なので、

$P(2-i) = 0 \cdot (2(2-i)+2) + (-5(2-i) - 6)$

$= -10 + 5i - 6 = -16 + 5i$

3. 最終的な答え

(1) $a = -4$, $b = 5$

(2) 商: $2x+2$, 余り: $-5x-6$

(3) $P(2-i) = -16 + 5i$