$|z_1|=|z_2|=|z_3|$, $z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1 = 0$, $z_1z_2z_3 = 1$ を満たす複素数 $z_1$, $z_2$, $z_3$ を求めよ。

1. 問題の内容

$|z_1|=|z_2|=|z_3|$, $z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1 = 0$, $z_1z_2z_3 = 1$ を満たす複素数 $z_1$, $z_2$, $z_3$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた条件は次の3つです。

\begin{align}

|z_1| &= |z_2| = |z_3| \tag{1} \\

z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1 &= 0 \tag{2} \\

z_1z_2z_3 &= 1 \tag{3}

\end{align}

式(1)より、$r = |z_1| = |z_2| = |z_3|$ とおけます。式(3)より $|z_1z_2z_3| = |1| = 1$ であるから、$|z_1||z_2||z_3| = r^3 = 1$ となり、$r$ は実数なので、$r = 1$ を得ます。したがって、$|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$ です。

$z_1z_2z_3 = 1$ なので、$z_2z_3 = 1/z_1 = \overline{z_1}$, $z_1z_3 = 1/z_2 = \overline{z_2}$, $z_1z_2 = 1/z_3 = \overline{z_3}$ となります。

式(2)を $z_1z_2z_3$ で割ると、

$\frac{1}{z_3} + \frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2} = 0$

$\overline{z_3} + \overline{z_1} + \overline{z_2} = 0$

両辺の複素共役をとると、

$z_3 + z_1 + z_2 = 0$

したがって、$z_1+z_2+z_3=0$ かつ $z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1=0$ かつ $z_1z_2z_3=1$ です。

$z_1, z_2, z_3$ は3次方程式 $z^3+0z^2+0z-1=0$ つまり $z^3=1$ の解となります。

$z^3=1$ の解は $z=1, \omega, \omega^2$ （ただし $\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$）なので、$z_1, z_2, z_3$ は $1, \omega, \omega^2$ の並び替えとなります。

3. 最終的な答え

$z_1, z_2, z_3 = 1, \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ (順不同)