問題1：多項式 $P(x) = 2x^3 - 6x^2 - 3x + 4$ が与えられ、$x = 2 - i$ の時の $P(x)$ の値を求める問題です。そのために、まず、$x^2 + ax + b = 0$ が $x = 2 - i$ を解に持つような実数 $a, b$ を求め、$P(x)$ を $x^2 + ax + b$ で割った時の商と余りを求めます。 問題2：実数係数の3次方程式 $x^3 + ax + b = 0$ が $1 + i$ を解に持つとき、$x^2 + px + q = 0$ が $1 + i$ を解に持つような実数 $p, q$ を求めます。その後、$x^3 + ax + b$ が $x^2 + px + q$ で割り切れることを利用して、$a, b$ の値を求め、$1 + i$ 以外の解を求めます。

はい、承知いたしました。問題文を読んで、それぞれの問いに答えます。

1. 問題の内容

問題1：多項式 $P(x) = 2x^3 - 6x^2 - 3x + 4$ が与えられ、$x = 2 - i$ の時の $P(x)$ の値を求める問題です。そのために、まず、$x^2 + ax + b = 0$ が $x = 2 - i$ を解に持つような実数 $a, b$ を求め、$P(x)$ を $x^2 + ax + b$ で割った時の商と余りを求めます。

問題2：実数係数の3次方程式 $x^3 + ax + b = 0$ が $1 + i$ を解に持つとき、$x^2 + px + q = 0$ が $1 + i$ を解に持つような実数 $p, q$ を求めます。その後、$x^3 + ax + b$ が $x^2 + px + q$ で割り切れることを利用して、$a, b$ の値を求め、$1 + i$ 以外の解を求めます。

2. 解き方の手順

問題1：

(1) $x = 2 - i$ を $x^2 + ax + b = 0$ に代入します。

$(2 - i)^2 + a(2 - i) + b = 0$

$4 - 4i - 1 + 2a - ai + b = 0$

$(3 + 2a + b) + (-4 - a)i = 0$

実部と虚部がそれぞれ0になるので、

$3 + 2a + b = 0$

$-4 - a = 0$

$a = -4$

$3 + 2(-4) + b = 0$

$3 - 8 + b = 0$

$b = 5$

(2) $P(x) = 2x^3 - 6x^2 - 3x + 4$ を $x^2 - 4x + 5$ で割ります。

割り算を実行すると、商は $2x + 2$、余りは $-5x - 6$ となります。

$2x^3 - 6x^2 - 3x + 4 = (x^2 - 4x + 5)(2x + 2) + (-5x - 6)$

(3) $x = 2 - i$ のとき、$P(x) = 2x^3 - 6x^2 - 3x + 4$ の値を求めます。$x = 2-i$ は $x^2 - 4x + 5 = 0$ の解なので、

$P(2-i) = (0)(2x + 2) + (-5(2-i) - 6)$

$P(2-i) = -10 + 5i - 6$

$P(2-i) = -16 + 5i$

問題2：

(4) $x = 1 + i$ を $x^2 + px + q = 0$ に代入します。

$(1 + i)^2 + p(1 + i) + q = 0$

$1 + 2i - 1 + p + pi + q = 0$

$(p + q) + (2 + p)i = 0$

実部と虚部がそれぞれ0になるので、

$p + q = 0$

$2 + p = 0$

$p = -2$

$q = -p = 2$

(5) $x^3 + ax + b$ が $x^2 - 2x + 2$ で割り切れるので、商を $x + k$ とすると

$x^3 + ax + b = (x^2 - 2x + 2)(x + k)$

$x^3 + ax + b = x^3 + (k - 2)x^2 + (2 - 2k)x + 2k$

$x^3$ の係数と定数項を比較すると $k = 0$ なので、

$x^3 + ax + b = x^3 - 2x^2 + 2x$.

しかし、問題文より$x^3 + ax + b = 0$ の形なので、$k - 2 = 0$ではない。

$k=2$とすると、

$x^3 + ax + b = x^3 + (k - 2)x^2 + (2 - 2k)x + 2k = x^3 + 0x^2 -2x + 4 = x^3 - 2x + 4$.

$a = -2, b = 4$

(6) $x^3 - 2x + 4 = 0$ の $1 + i$ 以外の解を求めます。$x = 1 + i$ を解に持つので、$x = 1 - i$ も解に持ちます。したがって、$x^2 - 2x + 2$ で割り切れます。

$x^3 - 2x + 4 = (x^2 - 2x + 2)(x + 2)$

よって、$x + 2 = 0$ から $x = -2$

3. 最終的な答え

問題1：

(1) $a = -4, b = 5$

(2) 商: $2x + 2$, 余り: $-5x - 6$

(3) $P(2 - i) = -16 + 5i$

問題2：

(4) $p = -2, q = 2$

(5) $a = -2, b = 4$

(6) $x = -2$