与えられた式 $\frac{1}{\sqrt{3}-1} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ を計算し、簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{\sqrt{3}-1} + \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ を計算し、簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数の分母を有理化します。

(1) $\frac{1}{\sqrt{3}-1}$ の分母を有理化します。

分子と分母に $\sqrt{3}+1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{3}-1} = \frac{1}{\sqrt{3}-1} \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} = \frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ の分母を有理化します。

分子と分母に $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$

次に、上記の結果を足し合わせます。

$\frac{\sqrt{3}+1}{2} + \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}+1+\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$