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行列 $A$ と $B$ が与えられたとき、$AX = B$ を満たす行列 $X$ を、余因子法を用いて求める。 ここで、 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -3 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -6 & -8 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$.

代数学線形代数行列逆行列余因子法連立方程式
2025/4/18

1. 問題の内容

行列 AA と BB が与えられたとき、AX=BAX = B を満たす行列 XX を、余因子法を用いて求める。
ここで、
A=(012−31−1122)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ -3 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix},
B=(3−2−6−831)B = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -6 & -8 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}.

2. 解き方の手順

AX=BAX = B より、X=A−1BX = A^{-1}B となる。したがって、まず AA の逆行列 A−1A^{-1} を余因子法で求める。
(1) AA の行列式 ∣A∣|A| を計算する。
∣A∣=0(1⋅2−(−1)⋅2)−1((−3)⋅2−(−1)⋅1)+2((−3)⋅2−1⋅1)=0−1(−6+1)+2(−6−1)=5−14=−9|A| = 0(1\cdot2 - (-1)\cdot2) - 1((-3)\cdot2 - (-1)\cdot1) + 2((-3)\cdot2 - 1\cdot1) = 0 - 1(-6+1) + 2(-6-1) = 5 - 14 = -9.
(2) AA の余因子行列 CC を計算する。
C11=1⋅2−(−1)⋅2=4C_{11} = 1\cdot2 - (-1)\cdot2 = 4
C12=−((−3)⋅2−(−1)⋅1)=−(−6+1)=5C_{12} = -((-3)\cdot2 - (-1)\cdot1) = -(-6+1) = 5
C13=(−3)⋅2−1⋅1=−6−1=−7C_{13} = (-3)\cdot2 - 1\cdot1 = -6-1 = -7
C21=−(1⋅2−2⋅2)=−(2−4)=2C_{21} = -(1\cdot2 - 2\cdot2) = -(2-4) = 2
C22=0⋅2−1⋅2=−2C_{22} = 0\cdot2 - 1\cdot2 = -2
C23=−(0⋅2−1⋅1)=1C_{23} = -(0\cdot2 - 1\cdot1) = 1
C31=1⋅(−1)−1⋅2=−1−2=−3C_{31} = 1\cdot(-1) - 1\cdot2 = -1-2 = -3
C32=−(0⋅(−1)−(−3)⋅2)=−(0+6)=−6C_{32} = -(0\cdot(-1) - (-3)\cdot2) = -(0+6) = -6
C33=0⋅1−(−3)⋅1=0+3=3C_{33} = 0\cdot1 - (-3)\cdot1 = 0+3 = 3
よって、
C=(45−72−21−3−63)C = \begin{pmatrix} 4 & 5 & -7 \\ 2 & -2 & 1 \\ -3 & -6 & 3 \end{pmatrix}.
(3) AA の余因子行列の転置行列 CTC^T を計算する。
CT=(42−35−2−6−713)C^T = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -3 \\ 5 & -2 & -6 \\ -7 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
(4) AA の逆行列 A−1A^{-1} を計算する。
A−1=1∣A∣CT=1−9(42−35−2−6−713)=(−49−2913−59292379−19−13)A^{-1} = \frac{1}{|A|}C^T = \frac{1}{-9}\begin{pmatrix} 4 & 2 & -3 \\ 5 & -2 & -6 \\ -7 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{4}{9} & -\frac{2}{9} & \frac{1}{3} \\ -\frac{5}{9} & \frac{2}{9} & \frac{2}{3} \\ \frac{7}{9} & -\frac{1}{9} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}.
(5) X=A−1BX = A^{-1}B を計算する。
X=(−49−2913−59292379−19−13)(3−2−6−831)=(−43+43+189+169+13−53−43+2109−169+2373+23−1−149+89−13)=(13−102−1)X = \begin{pmatrix} -\frac{4}{9} & -\frac{2}{9} & \frac{1}{3} \\ -\frac{5}{9} & \frac{2}{9} & \frac{2}{3} \\ \frac{7}{9} & -\frac{1}{9} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -6 & -8 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{4}{3} + \frac{4}{3} + 1 & \frac{8}{9} + \frac{16}{9} + \frac{1}{3} \\ -\frac{5}{3} - \frac{4}{3} + 2 & \frac{10}{9} - \frac{16}{9} + \frac{2}{3} \\ \frac{7}{3} + \frac{2}{3} - 1 & -\frac{14}{9} + \frac{8}{9} - \frac{1}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}.

3. 最終的な答え

X=(13−102−1)X = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}

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