次の等式を証明する。 (1) $a^4 + b^4 = \frac{1}{2}\{(a^2+b^2)^2 + (a-b)^2(a+b)^2\}$ (2) $(a^2+3b^2)(c^2+3d^2) = (ac-3bd)^2 + 3(ad+bc)^2$

1. 問題の内容

次の等式を証明する。

(1) $a^4 + b^4 = \frac{1}{2}\{(a^2+b^2)^2 + (a-b)^2(a+b)^2\}$

(2) $(a^2+3b^2)(c^2+3d^2) = (ac-3bd)^2 + 3(ad+bc)^2$

2. 解き方の手順

(1) まず、右辺を展開して計算する。

$\frac{1}{2}\{(a^2+b^2)^2 + (a-b)^2(a+b)^2\}$

$= \frac{1}{2}\{(a^4 + 2a^2b^2 + b^4) + (a^2-2ab+b^2)(a^2+2ab+b^2)\}$

$= \frac{1}{2}\{(a^4 + 2a^2b^2 + b^4) + (a^4 + 2a^2b^2 + a^2b^2 - 2a^3b - 4ab^3-2a^2b^2+ a^2b^2 + 2ab^3 + b^4)\}$

$= \frac{1}{2}\{(a^4 + 2a^2b^2 + b^4) + (a^4 - 2a^2b^2 + b^4)\}$

$= \frac{1}{2}\{2a^4 + 2b^4\}$

$= a^4 + b^4$

したがって、与式は成り立つ。

(2) 右辺を展開して計算する。

$(ac-3bd)^2 + 3(ad+bc)^2$

$= (a^2c^2 - 6acbd + 9b^2d^2) + 3(a^2d^2 + 2adbc + b^2c^2)$

$= a^2c^2 - 6acbd + 9b^2d^2 + 3a^2d^2 + 6adbc + 3b^2c^2$

$= a^2c^2 + 3a^2d^2 + 3b^2c^2 + 9b^2d^2$

左辺を展開する。

$(a^2+3b^2)(c^2+3d^2)$

$= a^2c^2 + 3a^2d^2 + 3b^2c^2 + 9b^2d^2$

したがって、左辺と右辺は等しく、与式は成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $a^4 + b^4 = \frac{1}{2}\{(a^2+b^2)^2 + (a-b)^2(a+b)^2\}$ は成り立つ。

(2) $(a^2+3b^2)(c^2+3d^2) = (ac-3bd)^2 + 3(ad+bc)^2$ は成り立つ。