問題は、式 $(x-b)(x-c)(c-b) + (x-c)(x-a)(a-c)+(x-a)(x-b)(b-a)$ を簡略化することです。また、 $a^3 + b^3$ の公式を求める問題のようです。

1. 問題の内容

問題は、式 $(x-b)(x-c)(c-b) + (x-c)(x-a)(a-c)+(x-a)(x-b)(b-a)$ を簡略化することです。また、 $a^3 + b^3$ の公式を求める問題のようです。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = (x-b)(x-c)(c-b) + (x-c)(x-a)(a-c)+(x-a)(x-b)(b-a)$ という関数を考えます。

$x=a$ を代入すると、

$f(a) = (a-b)(a-c)(c-b) + (a-c)(a-a)(a-c)+(a-a)(a-b)(b-a) = (a-b)(a-c)(c-b) + 0 + 0 = (a-b)(a-c)(c-b)$

$x=b$ を代入すると、

$f(b) = (b-b)(b-c)(c-b) + (b-c)(b-a)(a-c)+(b-a)(b-b)(b-a) = 0 + (b-c)(b-a)(a-c) + 0 = (b-c)(b-a)(a-c)$

$f(c) = (c-b)(c-c)(c-b) + (c-c)(c-a)(a-c)+(c-a)(c-b)(b-a) = 0 + 0 + (c-a)(c-b)(b-a) = (c-a)(c-b)(b-a)$

$f(x)$ を展開してみます。

$f(x) = (x^2 - (b+c)x + bc)(c-b) + (x^2 - (c+a)x + ca)(a-c) + (x^2 - (a+b)x + ab)(b-a)$

$= x^2(c-b + a-c + b-a) + x(-(b+c)(c-b) - (c+a)(a-c) - (a+b)(b-a)) + bc(c-b) + ca(a-c) + ab(b-a)$

$= x^2(0) + x(-bc -c^2 + b^2 + bc - ca - a^2 + c^2 + ac - ab - b^2 + a^2 + ab) + bc^2 - b^2c + ca^2 - c^2a + ab^2 - a^2b$

$= x(0) + (bc^2 - b^2c + ca^2 - c^2a + ab^2 - a^2b) = bc^2 - b^2c + ca^2 - c^2a + ab^2 - a^2b$

$= -bc(b-c) - a^2(b-c) + a(b^2-c^2) = -bc(b-c) - a^2(b-c) + a(b+c)(b-c)$

$= (b-c)(-bc - a^2 + a(b+c)) = (b-c)(-bc - a^2 + ab + ac) = (b-c)(-a^2 + ab + ac - bc) = (b-c)(-a(a-b) + c(a-b)) = (b-c)(a-b)(c-a)$

$= -(a-b)(b-c)(c-a)$

したがって、$f(x) = -(a-b)(b-c)(c-a)$ となります。 これは $x$ に依存しない定数です。

また、 $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ です。

3. 最終的な答え

$(x-b)(x-c)(c-b) + (x-c)(x-a)(a-c)+(x-a)(x-b)(b-a) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$