実数 $x, y$ が次の2つの不等式を満たすとき、$x+y$ の最大値と最小値を求めよ。 $y \le 2x+1$ $x^2 + 2y^2 \le 22$

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が次の2つの不等式を満たすとき、$x+y$ の最大値と最小値を求めよ。

$y \le 2x+1$

$x^2 + 2y^2 \le 22$

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式が表す領域を考える。

$y \le 2x+1$ は直線 $y = 2x+1$ の下側の領域を表す。

$x^2 + 2y^2 \le 22$ は楕円 $x^2 + 2y^2 = 22$ の内側の領域を表す。

次に、$k = x+y$ とおき、$y = -x+k$ と変形する。これは傾きが-1、y切片がkの直線を表す。

この直線が上記の領域と共有点を持つような $k$ の最大値と最小値を求めればよい。

楕円 $x^2 + 2y^2 = 22$ と直線 $y = -x+k$ が接するとき、$k$ は最大値または最小値を取る可能性がある。接する条件は、連立方程式

$x^2 + 2y^2 = 22$

$y = -x+k$

を解いて、解がただ一つになることである。

$x^2 + 2(-x+k)^2 = 22$

$x^2 + 2(x^2 - 2kx + k^2) = 22$

$3x^2 - 4kx + 2k^2 - 22 = 0$

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$D = (-4k)^2 - 4(3)(2k^2 - 22) = 16k^2 - 24k^2 + 264 = -8k^2 + 264$

$D=0$ となるのは、$-8k^2 + 264 = 0$ より $k^2 = \frac{264}{8} = 33$

したがって、$k = \pm \sqrt{33}$

次に、直線 $y = 2x+1$ と $y = -x+k$ の交点を求める。

$2x+1 = -x+k$

$3x = k-1$

$x = \frac{k-1}{3}$

$y = 2(\frac{k-1}{3}) + 1 = \frac{2k-2}{3} + 1 = \frac{2k+1}{3}$

この点が楕円 $x^2 + 2y^2 \le 22$ の内部にある条件は、

$(\frac{k-1}{3})^2 + 2(\frac{2k+1}{3})^2 \le 22$

$\frac{k^2 - 2k + 1}{9} + 2\frac{4k^2 + 4k + 1}{9} \le 22$

$k^2 - 2k + 1 + 8k^2 + 8k + 2 \le 198$

$9k^2 + 6k + 3 \le 198$

$9k^2 + 6k - 195 \le 0$

$3k^2 + 2k - 65 \le 0$

$(3k+15)(k-\frac{13}{3}) \le 0$

$(k+5)(3k-13) \le 0$

$-5 \le k \le \frac{13}{3}$

$k = \pm \sqrt{33}$ で $y = -x+k$ が楕円に接するとき、最大値は$\sqrt{33}$ , 最小値は$-\sqrt{33}$ となる。$\sqrt{33} \approx 5.7$ なので $y \le 2x+1$の条件から外れる。

上記の条件を考慮して、最大値は $\frac{13}{3}$、最小値は $-5$ である。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{13}{3}$

最小値: $-5$