与えられた式 $a^6 + 9a^3b^3 + 8b^6$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^6 + 9a^3b^3 + 8b^6$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

与えられた式を $x = a^3$, $y = b^3$ と置き換えることで、二次式として扱います。

$a^6 + 9a^3b^3 + 8b^6 = (a^3)^2 + 9(a^3)(b^3) + 8(b^3)^2 = x^2 + 9xy + 8y^2$

二次式 $x^2 + 9xy + 8y^2$ を因数分解します。

$x^2 + 9xy + 8y^2 = (x + y)(x + 8y)$

ここで、$x$ と $y$ を元の $a^3$ と $b^3$ に戻します。

$(x + y)(x + 8y) = (a^3 + b^3)(a^3 + 8b^3)$

$a^3 + b^3$ と $a^3 + 8b^3$ をそれぞれ因数分解します。

$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

$a^3 + 8b^3 = a^3 + (2b)^3 = (a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$

したがって、

$(a^3 + b^3)(a^3 + 8b^3) = (a + b)(a^2 - ab + b^2)(a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$

3. 最終的な答え

$(a + b)(a^2 - ab + b^2)(a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$