与えられた式 $(a+b+c)^3 - (-a+b+c)^3 - (a-b+c)^3 - (a+b-c)^3$ を計算し、簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+c)^3 - (-a+b+c)^3 - (a-b+c)^3 - (a+b-c)^3$ を計算し、簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、$x = a+b+c$, $y = -a+b+c$, $z = a-b+c$, $w = a+b-c$ とおきます。

求める式は $x^3 - y^3 - z^3 - w^3$ です。

$x-y = (a+b+c) - (-a+b+c) = 2a$

$x-z = (a+b+c) - (a-b+c) = 2b$

$x-w = (a+b+c) - (a+b-c) = 2c$

$x+y+z+w = (a+b+c) + (-a+b+c) + (a-b+c) + (a+b-c) = 2a+2b+2c = 4a$

$(a+b+c) - (-a+b+c) = 2a$

$(a+b+c) - (a-b+c) = 2b$

$(a+b+c) - (a+b-c) = 2c$

$x = a+b+c$, $y = -a+b+c$, $z = a-b+c$, $w = a+b-c$ なので、

$x^3 - y^3 - z^3 - w^3 = (a+b+c)^3 - (-a+b+c)^3 - (a-b+c)^3 - (a+b-c)^3$

$(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b) + 6abc$

$(-a+b+c)^3 = -a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b) - 6abc$

$(a-b+c)^3 = a^3 - b^3 + c^3 + 3(-a^2b + a^2c - b^2a + b^2c + c^2a - c^2b) - 6abc$

$(a+b-c)^3 = a^3 + b^3 - c^3 + 3(a^2b - a^2c + b^2a - b^2c - c^2a - c^2b) - 6abc$

$(a+b+c)^3 - (-a+b+c)^3 = 2a^3 + 6abc$

$(a-b+c)^3 - (a+b-c)^3 = -2b^3 + 2c^3 + 6(a^2b + a^2c +b^2c -b^2a)$

$(a+b+c)^3 - (-a+b+c)^3 - (a-b+c)^3 - (a+b-c)^3 = (a+b+c)^3 + (a-b-c)^3$

$x^3-y^3-z^3-w^3 = x^3 - (y^3+z^3+w^3)$

$x=a+b+c$

$y=-a+b+c$

$z=a-b+c$

$w=a+b-c$

$y+z+w = a+b+c = x$

$x^3-(y^3+z^3+w^3)=x^3 - (x^3 - 3yzx)=3yzx$

$3(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) = 24abc$

$x-y = 2a$, $x-z = 2b$, $x-w=2c$

$24abc$

3. 最終的な答え

$24abc$