与えられた問題は、方程式 $x^8 = 1$ を解くことです。

1. 問題の内容

与えられた問題は、方程式 $x^8 = 1$ を解くことです。

2. 解き方の手順

まず、方程式 $x^8 = 1$ を考えます。

この方程式の解は、1の8乗根です。複素数平面上で考えます。

$x$ は複素数である可能性を考慮すると、 $x$ は次の形で表すことができます。

$x = r e^{i\theta} = r(\cos\theta + i \sin\theta)$

ここで、$r$ は絶対値、$\theta$ は偏角です。

$x^8 = 1$ を満たす必要がありますから、

$(r e^{i\theta})^8 = r^8 e^{i8\theta} = 1 = 1 e^{i(0 + 2k\pi)}$

ここで、$k$ は整数です。

絶対値と偏角を比較すると、

$r^8 = 1$ かつ $8\theta = 2k\pi$

$r$ は正の実数なので、$r = 1$ です。

$\theta = \frac{2k\pi}{8} = \frac{k\pi}{4}$

$k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ に対して、異なる解が得られます。

$k=0: \theta = 0 \implies x = \cos 0 + i \sin 0 = 1$

$k=1: \theta = \frac{\pi}{4} \implies x = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}$

$k=2: \theta = \frac{\pi}{2} \implies x = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} = i$

$k=3: \theta = \frac{3\pi}{4} \implies x = \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}$

$k=4: \theta = \pi \implies x = \cos \pi + i \sin \pi = -1$

$k=5: \theta = \frac{5\pi}{4} \implies x = \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}$

$k=6: \theta = \frac{3\pi}{2} \implies x = \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} = -i$

$k=7: \theta = \frac{7\pi}{4} \implies x = \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}$

実数解は $x = 1$ と $x = -1$ です。

3. 最終的な答え

$x = 1, -1, i, -i, \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}$