2次関数 $y = -x^2 + 3x - 4$ のグラフの頂点を求め、グラフが選択肢のどのようになるか、そしてx軸との共有点がないことを示す問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 3x - 4$ のグラフの頂点を求め、グラフが選択肢のどのようになるか、そしてx軸との共有点がないことを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 3x - 4$

$y = -(x^2 - 3x) - 4$

$y = -[(x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2] - 4$

$y = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} - 4$

$y = -(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4} - \frac{16}{4}$

$y = -(x - \frac{3}{2})^2 - \frac{7}{4}$

頂点は $(\frac{3}{2}, -\frac{7}{4})$ となります。

次に、グラフの形状を考えます。$x^2$ の係数が負であるため、グラフは上に凸です。

頂点のy座標が負であるため、グラフはx軸よりも下に位置し、x軸との共有点はありません。

したがって、グラフは選択肢の④のようになります。

3. 最終的な答え

頂点は $(\frac{3}{2}, -\frac{7}{4})$ であり、グラフは④のようになります。