関数 $y = \frac{bx + 1}{x - a}$ について、$a > 0, b > 0$ であり、定義域が $-a \le x \le 0$ のとき、値域が $-1 \le y \le 1$ である。このとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{bx + 1}{x - a}$ について、$a > 0, b > 0$ であり、定義域が $-a \le x \le 0$ のとき、値域が $-1 \le y \le 1$ である。このとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = \frac{bx+1}{x-a}$ を変形して、$x$ について解く。

$y(x-a) = bx+1$

$yx - ay = bx + 1$

$yx - bx = ay + 1$

$x(y-b) = ay+1$

よって、

$x = \frac{ay+1}{y-b}$

ここで、定義域が $-a \le x \le 0$ であることから、$x=-a$ のとき $y=-1$、そして $x=0$ のとき $y=1$ であることが考えられる。

これらの条件を代入してみる。

(i) $x = -a$ のとき $y = -1$ を代入すると、

$-a = \frac{a(-1) + 1}{-1 - b}$

$-a(-1-b) = -a + 1$

$a + ab = -a + 1$

$2a + ab = 1$

(ii) $x = 0$ のとき $y = 1$ を代入すると、

$0 = \frac{a(1) + 1}{1 - b}$

$0 = a + 1$

よって、$a = -1$ となるが、$a>0$ の条件に反するので、これは誤り。

次に、$x=0$ のとき $y = -1$、そして $x = -a$ のとき $y = 1$ となる場合を考える。

(i) $x = 0$ のとき $y = -1$ を代入すると、

$0 = \frac{a(-1) + 1}{-1 - b}$

$0 = -a + 1$

$a = 1$

(ii) $x = -a$ のとき $y = 1$ を代入すると、

$-a = \frac{a(1) + 1}{1 - b}$

$-a(1 - b) = a + 1$

$a = 1$ を代入して、

$-(1-b) = 1+1$

$-1+b = 2$

$b = 3$

よって、$a=1, b=3$ を得る。

このとき、$y = \frac{3x+1}{x-1}$ となる。$x \in [-1, 0]$ のとき、$y$ の値域を調べる。

$y' = \frac{3(x-1) - (3x+1)}{(x-1)^2} = \frac{-4}{(x-1)^2} < 0$

よって、単調減少関数であり、$x=-1$ のとき $y = \frac{-3+1}{-1-1} = \frac{-2}{-2} = 1$、$x=0$ のとき $y = \frac{1}{-1} = -1$ となる。

確かに、$y \in [-1, 1]$ を満たしている。

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = 3$