問題は、$x^5 = 1$ を満たす $x$ を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、$x^5 = 1$ を満たす $x$ を求めることです。

2. 解き方の手順

$x^5 = 1$ を解くには、複素数の範囲で考えます。

$x$は複素数なので、極形式で表すと、

$x = r(\cos\theta + i\sin\theta)$

となります。ここで、$r$は$x$の絶対値、$\theta$は$x$の偏角です。

$x^5 = 1$ なので、

$x^5 = r^5(\cos(5\theta) + i\sin(5\theta)) = 1$

となります。

1を極形式で表すと、

$1 = 1(\cos(0) + i\sin(0))$

となります。

したがって、

$r^5 = 1$ かつ $5\theta = 2\pi k$（$k$は整数）

となります。

$r$は絶対値なので正の実数であり、$r^5 = 1$ より、$r = 1$ です。

$5\theta = 2\pi k$ より、$\theta = \frac{2\pi k}{5}$ となります。

$k = 0, 1, 2, 3, 4$ に対して、異なる解が得られます。

$k = 0$ のとき、$\theta = 0$ なので、$x = \cos(0) + i\sin(0) = 1$

$k = 1$ のとき、$\theta = \frac{2\pi}{5}$ なので、$x = \cos(\frac{2\pi}{5}) + i\sin(\frac{2\pi}{5})$

$k = 2$ のとき、$\theta = \frac{4\pi}{5}$ なので、$x = \cos(\frac{4\pi}{5}) + i\sin(\frac{4\pi}{5})$

$k = 3$ のとき、$\theta = \frac{6\pi}{5}$ なので、$x = \cos(\frac{6\pi}{5}) + i\sin(\frac{6\pi}{5})$

$k = 4$ のとき、$\theta = \frac{8\pi}{5}$ なので、$x = \cos(\frac{8\pi}{5}) + i\sin(\frac{8\pi}{5})$

3. 最終的な答え

$x = 1, \cos(\frac{2\pi}{5}) + i\sin(\frac{2\pi}{5}), \cos(\frac{4\pi}{5}) + i\sin(\frac{4\pi}{5}), \cos(\frac{6\pi}{5}) + i\sin(\frac{6\pi}{5}), \cos(\frac{8\pi}{5}) + i\sin(\frac{8\pi}{5})$